一、解答题 （ 共 29 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x+\sin x}{1+\cos x} d x$
设 $f(x), g(x)$ 在 $[a, b]$ 上二阶可导，且 $g^{\prime \prime}(x) \neq 0, f(a)=f(b)=g(a)=g(b)=0$,
证明:
(1) 在区间 $(a, b)$ 内 $g(x) \neq 0$,
(2) $\exists \xi \in(a, b)$, 使 $\frac{f(\xi)}{g(\xi)}=\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{g^{\prime \prime}(\xi)}$
过点 $(1,0)$ 作抛物线 $y=\sqrt{x-2}$ 的切线. (1) 求该切线方程; (2) 求由这条切线、抛物线及 $x$ 轴所围成的平面图形面积; (3) 求 (2) 中平面图形绕 $x$ 轴旋转一周所得旋转体体积.
设函数 $f(x)$ 是满足初值问题 $\left\{\begin{array}{l}f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=x^2, \\ f(0)=a, f^{\prime}(0)=0\end{array}\right.$ 的特解, 试证明 $x=0$ 是 $y=f(x)$的极小值点.
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n(x-1)^n$ 在点 $x=4$ 处条件收敛, 判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n^2}$ 是否收敛, 若收敛,请说明是条件收敛,还是绝对收敛.
已知 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可微, 且 $f(1)=f(-1)=1$, 若平面向量函数
$$
\boldsymbol{F}(x, y)=\frac{-x y^2}{y^4+f(x)} i+\frac{x^2 y}{y^4+f(x)} j
$$
是二元函数 $\Phi(x, y)$ 的梯度.
(I) 求函数 $f(x)$ 及 $\Phi(x, y)$;
( II ) 证明: $\oint_C \boldsymbol{F}(x, y) \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l}=0$, 其中 $C$ 是任意一条不通过 $\boldsymbol{F}(x, y)$ 的奇点 (使 $y^{\prime}+f(x)=0$的点) 的正向闭路径.
$x$ 为大于 0 的常数,构造数列 $\left\{x_n\right\}: x_1=\sqrt{x}, x_{n+1}=\sqrt{x+x_n}(n=1,2, \cdots)$.
(I) 证明: 数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛;
(II) 给定正整数 $m \geqslant 2$, 求方程 $\lim x_n=m$ 的解.
设 $f(x)=\sqrt{x-\ln (1+x)}, x \in[0,+\infty)$, 求 $f^{\prime}(0)$ 和 $f^{\prime \prime}(0)$.
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \int_0^{10 n}\left(1-\left|\sin \frac{x}{n}\right|\right)^n \mathrm{~d} x$ 的值.
求积分 $\int_0^\pi(\sin x)^{\frac{4}{3}}(\cos x)^{\frac{2}{3}} \mathrm{~d} x$ 的值.
求积分 $\iiint_{2 x^2+y^2 \leq z \leq x^2+4 x+y}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 的值.
设 $f(x)$ 为定义在 $[-1,1]$ 上的实函数, 存在 $M>0$, 使得对任何的 $x, y \in[-1,1]$ 成立 $|f(x)-f(y)| \leq M|x-y|$, 若对任何固定的 $x$, 成立 $\lim _{n \rightarrow \infty} n f\left(\frac{x}{n}\right)=0$,
证明: $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导, 且导数为 0 .
计算级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{H_n}{2^n(n+1)}$, 其中 $H_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}(n \geq 1)$
证明: (1) 曲线积分
$
\int_C \mathrm{e}^{-2 x y} \cos \left(x^2-y^2\right) \mathrm{d} x-\mathrm{e}^{-2 x y} \sin \left(x^2-y^2\right) \mathrm{d} y
$
与路径无关;
(2) 证明: $\lim _{R \rightarrow+\infty}\left(\int_0^R \cos x^2 \mathrm{~d} x-\int_0^R \mathrm{e}^{-2 x^2} \mathrm{~d} x\right)=0$;
(3) 证明: $\lim _{R \rightarrow+\infty}\left(\int_0^R \sin x^2 \mathrm{~d} x-\int_0^R \mathrm{e}^{-2 x^2} \mathrm{~d} x\right)=0$.
求定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x \cos x}{\sin ^4 x+\cos ^4 x-5} \mathrm{~d} x$.
计算二重积分$\iint_D \sin \left(\max \left\{x^2, y^2\right\}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y,$ 其中区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x, y \leq \sqrt{\pi}\}$.
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n(2 n+1)}$ 的和.
设 $f(x, y)=x^3-3 x^2 y-y^3+x^2-y$.
(1) 证明: 存在 $\delta>0$, 以及定义于 $(-\delta, \delta)$ 上的连续可微函数 $y=y(x)$, 满足 $y(0)=0$, 以及 $f(x, y(x))=0$.
(2) 证明: $x=0$ 时 (1) 中的 $y(x)$ 取到极小值.
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导且下凸, 证明: 对任意的实数 $x$, 都有 $f\left(x+f^{\prime}(x)\right) \geq f(x)$.
设 $x_n=\sum_{k=0}^n \frac{1}{k !}, n=1,2, \cdots$, 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\ln x_n}{\sqrt[n]{\mathrm{e}}-1}-n\right) .$