与两直线 $\left\{\begin{array}{l}x=1, \\ y=-1+t \\ z=2+t\end{array}\right.$ 及 $\frac{x+1}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-1}{1}$ 都平行, 且过原点的平面方程为
当 $x=$ （ ） 时, 函数 $y=x 2^{x}$ 取得极小值.
设 $L$ 为取正向的圆周 $x^{2}+y^{2}=9$, 则曲线积分 $\oint_{L}(2 x y-2 y) \mathrm{d} x+\left(x^{2}-4 x\right) \mathrm{d} y$ 的值是
已知 3 维线性空间的一组基底为 ${\alpha}_{1}=(1,1,0), {\alpha}_{2}=(1,0,1), {\alpha}_{3}=(0,1,1)$, 则向量 ${\beta}=$ $(2,0,0)$ 在上述基底下的坐标是
若 $f(t)=\lim _{x \rightarrow \infty} t\left(1+\frac{1}{x}\right)^{2 t x}$, 则 $f^{\prime}(t)=$
设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数, 它在区间 $(-1,1]$ 上的定义为
$$
f(x)= \begin{cases}2, & -1 < x \leqslant 0, \\ x^{3}, & 0 < x \leqslant 1,\end{cases}
$$
则 $f(x)$ 的傅里叶 (Fourier) 级数在 $x=1$ 处收敛于
设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $\int_{0}^{x^{3}-1} f(t) \mathrm{d} t=x$, 则 $f(7)=$
已知 $f^{\prime}(3)=2$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(3-h)-f(3)}{2 h}=$
设 $f(x)$ 是连续函数, 且 $f(x)=x+2 \int_{0}^{1} f(t) \mathrm{d} t$, 则 $f(x)=$
设平面曲线 $L$ 为下半圆 $y=-\sqrt{1-x^{2}}$, 则曲线积分 $\int_{L}\left(x^{2}+y^{2}\right) \mathrm{d} s=$
向量场 $\boldsymbol{u}(x, y, z)=x y^{2} \boldsymbol{i}+y \mathrm{e}^{z} \boldsymbol{j}+x \ln \left(1+z^{2}\right) \boldsymbol{k}$ 在点 $P(1,1,0)$ 处的散度 $\operatorname{div} \boldsymbol{u}=$
过点 $M(1,2,-1)$ 且与直线 $\left\{\begin{array}{l}x=-t+2 \\ y=3 t-4 \\ z=t-1\end{array}\right.$ 垂直的平面方程是
设 $a$ 为非零常数, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x+a}{x-a}\right)^{x}=$
解答题 （ 共 ### 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{(x-3)^{n}}{n 3^{n}}$ 的收敛域.
已知 $f(x)=\mathrm{e}^{x^{2}}, f[\varphi(x)]=1-x$ 且 $\varphi(x) \geqslant 0$, 求 $\varphi(x)$ 并写出它的定义域.
设 $\Sigma$ 为曲面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=1$ 的外侧, 计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} x^{3} \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y^{3} \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z^{3} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y .
$$
设 $z=f(2 x-y)+g(x, x y)$, 其中函数 $f(t)$ 二阶可导, $g(u, v)$ 具有连续的二阶偏导数, 求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.
设曲线积分 $\int_{C} x y^{2} \mathrm{~d} x+y \varphi(x) \mathrm{d} y$ 与路径无关, 其中 $\varphi(x)$ 具有连续的导数, 且 $\varphi(0)=0$. 计算 $\int_{(0,0)}^{(1,1)} x y^{2} \mathrm{~d} x+y \varphi(x) \mathrm{d} y$ 的值.
计算三重积分 $\iint_{\Omega}(x+z) \mathrm{d} v$, 其中 $\Omega$ 是由曲面 $z=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$ 与 $z=\sqrt{1-x^{2}-y^{2}}$ 所围成的区域.
将函数 $f(x)=\arctan \frac{1+x}{1-x}$ 展开为 $x$ 的幕级数.
设 $f(x)=\sin x-\int_{0}^{x}(x-t) f(t) \mathrm{d} t$, 其中 $f$ 为连续函数, 求 $f(x)$.
设半径为 $R$ 的球面 $\Sigma$ 的球心在定球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 上, 问当 $R$ 取何值时, 球面 $\Sigma$ 在定 球面内部的那部分的面积最大?