解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 连续，广义积分 $\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛. 证明:
$$
\lim _{\lambda \rightarrow 0^{+}} \int_0^{+\infty} e^{-\lambda x} f(x) \mathrm{d} x=\int_0^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x .
$$
设
$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{rr}
\left( x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2},(x, y) \neq(0,0) \\
0 ,(x, y)=(0,0)
\end{array} .\right.
$
证明:
(1) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续;
(2) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处存在偏导数;
(3) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处的偏导数不连续；
(4) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微.
如图, 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内求一点 $x$, 使得阴影部分面积最小, 并求出该最小值.
