证明: 当 $x \geqslant 0$ 时, 存在 $\theta(x) \in(0,1)$, 使得 $\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+\theta(x)}}=2$, 且 $\theta(x)$ 满足:
( I ) $\frac{1}{4} \leqslant \theta(x) < \frac{1}{2} ;$
(II) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \theta(x)=\frac{1}{4}, \lim _{x \rightarrow+\infty} \theta(x)=\frac{1}{2}$.