高等数学10

数学

一、填空题（共 20 题），请把答案直接填写在答题纸上

1. 设

f (x) = (x - 1) (x - 3)^{3} (x - 5)^{5} (x - 7)^{7}

, 则

f^{''''} (3) =

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2. 方程

\sum_{i = 1}^{100} \frac{1}{x - i} = 0

实根的个数为

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3. 定积分

I = \int_{0}^{π} \cos (\sin^{2} x) \cos x d x =

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lim_{t \to 0^{+}} \frac{1}{t^{3}} \int_{0}^{\frac{π}{4}} d θ \int_{0}^{\frac{t}{\cos θ}} \frac{\sin (r^{2} \sin θ \cos θ)}{\sin θ} d r =

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5. 设

f (x) = (x - 1) (x - 3)^{3} (x - 5)^{5} (x - 7)^{7}

, 则

f^{'''} (3) =

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6. 设

f (x)

在

[0, + \infty)

上可导, 且

f (0) = 0

, 其反函数为

g (x)

, 满足

\int_{0}^{f (x)} g (t) d t = (x - 1) e^{x} + x^{2} + 1,

则

f (x)

的表达式为

f (x) =

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7. 定积分

I = \int_{0}^{π} \cos (\sin^{2} x) \cos x d x =

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8. 设

L

是直线

y = x

上点

O (0, 0)

到点

A (1, 1)

的一段弧, 则

\int_{L} (x + y) d s =

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\int_{L} e^{x} (1 - 2 \cos y) d x + 2 e^{x} \sin y d y =

(其中

L

是

y = \sin x

上从点

A (π, 0)

到点

O (0, 0)

的一段弧

)

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10. 已知函数

u (x, y)

的全微分为

2 x y d x + x^{2} d y

, 则

u (x, y) =

(求出满足条件的任何一个函数均可)

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11. 正项级数

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \dots + \frac{1}{2^{n}} + \dots

的和为

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12. 幂级数

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2^{n} \cdot n} x^{n}

的收敛半径为

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13. 设

f (x)

是周期为

2 π

的函数, 其傅里叶级数的和函数为

s (x), f (x)

在

(- π, π]

内的函数表达式为

f (x) = {\begin{array}{rr} x & 0 \leq x \leq π \\ 0 & - π < x < 0 \end{array}

, 则

s (9 π) =

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14. 设

z = \sqrt{\ln (x y)}

, 则

x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} =

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15. 函数

u = e^{y (x^{2} + y^{2})}

, 则

d u =

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16. 曲线

{\begin{matrix} y = 4 \\ z = \frac{x^{2} + y^{2}}{4} \end{matrix}

在点

(2, 4, 5)

处的切线方程是

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17.

L

是圆周

x^{2} + y^{2} = a^{2} (a > 0)

㑔向一周, 则曲线积分

\oint (x^{3} - x^{2} y) d x + (x y^{2} - y^{3}) d y =

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18. 交换二次积分的次序:

\int_{0}^{1} d y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2 - y^{2}}} f (x, y) d x =

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19. 函数

z = 5 x^{2} y

在点

(1, 0)

处沿方向

\vec{l} = (3, - 4)

的方向导数

\frac{\partial z}{\partial l} =

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20. 由

x^{2} + y^{2} \leq z \leq 1

表示的立体图形的体积

V =

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