设 $f(x)=(x-1)(x-3)^3(x-5)^5(x-7)^7$, 则 $f^{\prime \prime \prime \prime}(3)=$
方程 $\sum_{i=1}^{100} \frac{1}{x-i}=0$ 实根的个数为
定积分 $I=\int_0^\pi \cos \left(\sin ^2 x\right) \cos x \mathrm{~d} x=$
$\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{t^3} \int_0^{\frac{\pi}{4}} \mathrm{~d} \theta \int_0^{\frac{t}{\cos \theta}} \frac{\sin \left(r^2 \sin \theta \cos \theta\right)}{\sin \theta} \mathrm{d} r=$
设 $f(x)=(x-1)(x-3)^3(x-5)^5(x-7)^7$, 则 $f^{\prime \prime \prime}(3)=$
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, 且 $f(0)=0$, 其反函数为 $g(x)$, 满足
$$
\int_0^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=(x-1) \mathrm{e}^x+x^2+1,
$$
则 $f(x)$ 的表达式为 $f(x)=$
定积分 $I=\int_0^\pi \cos \left(\sin ^2 x\right) \cos x \mathrm{~d} x=$
设 $L$ 是直线 $y=x$ 上点 $O(0,0)$ 到点 $A(1,1)$ 的一段弧, 则 $\int_L(x+y) \mathrm{d} s=$
$\int_L \mathrm{e}^x(1-2 \cos y) \mathrm{d} x+2 \mathrm{e}^x \sin y \mathrm{~d} y=$
(其中 $L$ 是 $y=\sin x$ 上从点 $A(\pi, 0)$ 到点 $O(0,0)$ 的一段弧 $)$.
已知函数 $u(x, y)$ 的全微分为 $2 x y \mathrm{~d} x+x^2 \mathrm{~d} y$, 则 $u(x, y)=$
(求出满足条件的任何一个函数均可)
正项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n}+\cdots$ 的和为
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n \cdot n} x^n$ 的收敛半径为
设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的函数, 其傅里叶级数的和函数为 $s(x), f(x)$ 在 $(-\pi, \pi]$ 内的函数表达式为
$f(x)=\left\{\begin{array}{rr}x & 0 \leq x \leq \pi \\ 0 & -\pi < x < 0\end{array}\right.$, 则 $s(9 \pi)=$
设 $z=\sqrt{\ln (x y)}$, 则 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=$
函数 $u=e^{y\left(x^2+y^2\right)}$, 则 $d u=$
曲线 $ \left\{\begin{array}{c}
y=4 \\
z=\frac{x^2+y^2}{4}
\end{array}\right.
$ 在点 $(2,4,5)$处的切线方程是
$L$ 是圆周 $x^2+y^2=a^2(a>0)$ 㑔向一周, 则曲线积分 $\oint\left(x^3-x^2 y\right) d x+\left(x y^2-y^3\right) d y=$
交换二次积分的次序: $\int_0^1 d y \int_{\sqrt{y}}^{\sqrt{2-y^2}} f(x, y) d x=$
函数 $z=5 x^2 y$ 在点 $(1,0)$ 处沿方向 $\vec{l}=(3,-4)$ 的方向导数 $\frac{\partial z}{\partial l}=$
由 $x^2+y^2 \leq z \leq 1$ 表示的立体图形的体积 $V=$