设 $f(x)=(x-1)(x-3)^3(x-5)^5(x-7)^7$, 则 $f^{\prime \prime \prime}(3)=$
【答案】 $2^{20} \cdot 3 !$.

【解析】 $f(x) \stackrel{\text { 记为 }}{=}(x-3)^3 g(x)$, 其中 $g(x)=(x-1)(x-5)^5(x-7)^7$.
$$
f^{\prime \prime \prime}(x)=(x-3)^3 g^{\prime \prime \prime}(x)+3 \mathrm{C}_3^1(x-3)^2 g^{\prime \prime}(x)+6 \mathrm{C}_3^2(x-3) g^{\prime}(x)+3 ! g(x),
$$
由于 $(x-3)^3$ 及其 1 阶导数和 2 阶导数在 $x=3$ 处均为零, 故
$$
f^{\prime \prime \prime}(3)=3 ! g(3)=3 !(3-1)(3-5)^5(3-7)^7=2^{20} \cdot 3 !
$$
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