一、解答题 （ 共 29 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设有三角形闸板, 两直角边的和为 $l$. 将其竖直放人水中, 使一直角边与水面重合, 另一直角边垂直向下.问当两直角边成何比例时, 三角形闸板承受水压力最大? 设水的密度为 $1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^3$,求出其最大压力.
设 $f(x)$ 在 $\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 上连续, 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内连续可导, 且满足 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \cos ^2 x \cdot f(x) \mathrm{d} x=0$, 证明：
( I ) 存在 $\xi \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=2 f(\xi) \tan \xi$;
(II) 存在 $\eta \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$, 使得 $f^{\prime}(\eta)=f(\eta) \tan \eta$.
设 $k>0, y=k x^2$ 与 $y=\sin x\left(0 \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right)$ 在 $x=t$ 处相交, 记 $S_1$ 为 $y=k x^2$ 与 $y=\sin x$ 围成的面积; $S_2$ 为 $y=\sin x, y=\sin t$ 与 $x=\frac{\pi}{2}$ 围成的面积. 试证: $S(t)=S_1+S_2$ 在 $\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ 内必有最小值.
求极限$ \lim _{n \rightarrow+\infty} \dfrac{\sqrt[n]{(n+1)(n+2) \cdots(n+n)}}{n}$
设 $0 < x_0 < \frac{\pi}{2}$ ，作迭代序列 $x_n=\sin \left(x_{n-1}\right) ， n=1,2, \cdots$.
(1) 证明 $\lim _{n \rightarrow+\infty} x_n=0$
(2)证明 $\left\{n x_n^2\right\}$ 收敛，并求其极限
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a, b]$ 上有连续二阶导，且 $f(a)=f(b)=0$ 。
证明: (1) $\int_a^b f(x) d x=\frac{1}{2} \int_a^b(x-a)(x-b) f^{\prime \prime}(x) d x$
(2) $\left|\int_a^b f(x) d x\right| \leqslant \frac{1}{12}(b-a)^3 \cdot \max _{x \in[a, b]}\left|f^{\prime \prime}(x)\right|$
设 $z=z(x, y)$ 是方程 $z^3=1+3 x y$ 所确定的隐函数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
证明: 当 $x \geqslant 0, y \geqslant 0$ 时, 有 $\frac{x^2+y^2}{4} \leqslant e^{x+y-2}$
求曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} 4 x z d y d z-2 y z d z d x+\left(1-z^2\right) d x d y$其中 $\sum$ 是由 $z=e^y(0 \leqslant y \leqslant 1)$ 绕$z$轴旋转一周得到的曲面，方向取下侧。
求函数 $f(x)=\arctan \frac{1-2 x}{1+2 x}$ 在 $x=0$ 处的幂级数展开式，并求 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2 n+1}$.
设D是由简单光滑闭曲线L围成的区域， $f(x, y)$ 在 $\bar{D}$ 上有连续偏导，记 $d=\max _{(x y) \in D} \sqrt{x^2+y^2}$
(1) 证明 $\iint_D f(x, y) d x d y=\int_L^{(x y) \in D} x \cdot f d y-\iint_D x \cdot \frac{\partial f}{\partial x} d x d y$
(2)若对 $\forall(x, y) \in L$ ，有 $f(x, y)=0$. 证明
$$
\iint_D f^2(x y) d x d y \leqslant d^2 \iint_D\left[\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right)^2\right] d x d y
$$
求极限: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^2+1}+\frac{n}{n^2+2}+\cdots+\frac{n}{n^2+n}\right)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right]^x$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\left(a x+b x^2\right)}{x^2}=2$, 问 $a=?, \quad b=?$ 。
计算: $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\frac{3}{n^2}+\cdots+\frac{n}{n^2}\right)$ 。
设方程: $\left\{\begin{array}{l}x=3 t^2+2 t \\ y=e^y \sin t+1\end{array}\right.$, 求 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=0}$ 。
设方程: $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{t+1} \\ y=\frac{t}{(t+1)^2}\end{array}\right.$ 求 $\frac{d y}{d x}$ 。
设方程: $\left\{\begin{array}{l}x=e^t \cos t \\ y=e^t \sin t\end{array}\right.$, 求 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=\frac{\pi}{2}}$ 。
计算不定积分: $\int \frac{(1-x)^3}{x^2} d x$ 。
计算不定积分: $\int \frac{2 x^2+1}{x^2\left(x^2+1\right)} d x$ 。
计算不定积分: $\int x^3 \sqrt{x^4+5} d x$ 。
计算定积分: $\int_0^{+\infty} \frac{e^{-x}}{\sqrt{25 e^{2 x}-16}} d x$ 。
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{a x}-\frac{1+b x}{1+2 x}}{1-\sqrt{1-x^2}}=-4$, 求 $a, b$.
设 $f(x)$ 二阶可导, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$, 且 $f(1)=1$, 证明 : 存在 $\xi \in(0,1)$, 使得
$$
f^{\prime \prime}(\xi)-2 f^{\prime}(\xi)=-2 \text {. }
$$
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2 n+1}{n !} x^{2 n}$ 的收敛域与和函数.
求微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 \dot{y}=\mathrm{x}^x+\sin ^2 x$ 的通解.
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^x$
假设 $f$ 是 $[0,1]$ 上的连续函数，满足 $f(0)=f(1)$ 。证明对任意正整数 $n$ ，存在 $x \in\left[0, \frac{n-1}{n}\right]$ 使得 $f(x)=f\left(x+\frac{1}{n}\right)$ 。
假设 $f \in C^{\infty}(\mathbb{R}) ， f(0) f^{\prime}(0) \geq 0$ 并且 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$ 。证明存在 $0 \leq x_1 < x_2 < \cdots < x_n < \cdots$, 使得 $f^{(n)}\left(x_n\right)=0$ 。