解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
假设存在常数 $C$ 使得对任意非负整数 $n$ 都有 $\left|f^{(n)}(x)\right| \leq C^n$ 。证明，对任意 $x_0 \in \mathbb{R} ， f(x)$ 有无穷 Taylor 级数
$$
f(x)=\sum_{k=0}^{\infty} \frac{f^{(k)}\left(x_0\right)}{k !}\left(x-x_0\right)^k, \quad \forall x \in \mathbb{R} .
$$
证明实轴 $\mathbb{R}$ 不能分解为可数个长度大于零的不交闭区间的并。
假设定义在区间 $(a, b)$ 上的函数 $f$ 的左右导数处处存在，证明 $f$ 至多在可数个点处不可导。