题号:
5676
题型:
解答题
来源:
2024考研数学第一轮模拟考试试题与答案解析（数一）
设可导函数 $f(x)$ 满足 $\int x^3 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=x^2 \cos x-4 x \sin x-6 \cos x+C$, 且 $f(2 \pi)=\frac{1}{2 \pi}$, 求
$$
\int f(x) d x .
$$
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【解】由 $\int x^3 f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=x^2 \cos x-4 x \sin x-6 \cos x+C$ 两边对 $x$ 求导得, $x^3 f^{\prime}(x)=2 \sin x-2 x \cos x-x^2 \sin x$, 即 $f^{\prime}(x)=\frac{2}{x^3} \sin x-\frac{2}{x^2} \cos x-\frac{1}{x} \sin x$.
于是
$$
\begin{aligned}
f(x) & =\int \frac{2}{x^3} \sin x \mathrm{~d} x-\int \frac{2}{x^2} \cos x \mathrm{~d} x-\int \frac{1}{x} \sin x \mathrm{~d} x \\
& =-\int \sin x \mathrm{~d}\left(\frac{1}{x^2}\right)-\int \frac{2}{x^2} \cos x \mathrm{~d} x-\int \frac{1}{x} \sin x \mathrm{~d} x \\
& =-\frac{1}{x^2} \sin x-\int \frac{1}{x^2} \cos x \mathrm{~d} x-\int \frac{1}{x} \sin x \mathrm{~d} x \\
& =-\frac{1}{x^2} \sin x+\int \cos x \mathrm{~d}\left(\frac{1}{x}\right)-\int \frac{1}{x} \sin x \mathrm{~d} x \\
& =-\frac{1}{x^2} \sin x+\frac{1}{x} \cos x+\int \frac{1}{x} \sin x \mathrm{~d} x-\int \frac{1}{x} \sin x \mathrm{~d} x \\
& =-\frac{1}{x^2} \sin x+\frac{1}{x} \cos x+C .
\end{aligned}
$$
由于 $f(2 \pi)=\frac{1}{2 \pi}$, 因此 $C=0$, 从而 $f(x)=-\frac{1}{x^2} \sin x+\frac{1}{x} \cos x$. 于是
$$
\begin{aligned}
\int f(x) \mathrm{d} x & =\int\left(-\frac{1}{x^2} \sin x+\frac{1}{x} \cos x\right) \mathrm{d} x=\int \sin x \mathrm{~d}\left(\frac{1}{x}\right)+\int \frac{1}{x} \cos x \mathrm{~d} x \\
& =\frac{1}{x} \sin x-\int \frac{1}{x} \cos x \mathrm{~d} x+\int \frac{1}{x} \cos x \mathrm{~d} x=\frac{1}{x} \sin x+C_1,
\end{aligned}
$$
其中 $C_1$ 为任意常数.
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