题号:
5678
题型:
解答题
来源:
2024考研数学第一轮模拟考试试题与答案解析（数一）
设 $F(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, 且 $F(0)=1, F(x) f(x)=\cos 2 x, a_n=\int_0^{n \pi}|f(x)| \mathrm{d} x(n-1$, $2, \cdots)$.
(1) 求 $a_n$;
(2) 求幂级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_n}{n^2-1} x^n$ 的收敛域与和函数.
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答案：
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解 (1) $F^{\prime}(x)=f(x) \Rightarrow F(x) f(x)=F(x) F^{\prime}(x)=\left[\frac{1}{2} F^2(x)\right]^{\prime}=\cos 2 x$
$$
\Rightarrow F^2(x)=\sin 2 x+C
$$
由 $F(0)=1$ 知 $C=1$, 于是 $F(x)=\sqrt{\sin 2 x+1}$, 因此
$$
f(x)=F^{\prime}(x)=\frac{\cos 2 x}{\sqrt{\sin 2 x+1}}=\frac{\cos ^2 x-\sin ^2 x}{|\cos x+\sin x|},
$$
故 $a_n=\int_0^{n \pi}|f(x)| \mathrm{d} x=\int_0^{n \pi}|\cos x-\sin x| \mathrm{d} x=n \int_0^\pi|\cos x-\sin x| \mathrm{d} x=2 \sqrt{2} n$.
（2）幕级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{a_n}{n^2-1} x^n=2 \sqrt{2} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^2-1} x^n$, 收敛域为 $[-1,1$ ), 记
$$
\begin{aligned}
S(x) & =2 \sqrt{2} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n}{n^2-1} x^n=\sqrt{2} \sum_{n=2}^{\infty}\left(\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n+1}\right) x^n \\
& =\sqrt{2} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n-1} x^n+\sqrt{2} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n+1} x^n \\
& =\sqrt{2} x \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n-1} x^{n-1}+\frac{\sqrt{2}}{x} \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{n+1} x^{n+1} \\
& =-\sqrt{2}\left[\frac{1+x^2}{x} \ln (1-x)+1+\frac{x}{2}\right]
\end{aligned}
$$
且 $S(0)=0$ 或利用 $\lim _{x \rightarrow 0} S(x)=0$, 得和函数
$$
S(x)= \begin{cases}-\sqrt{2}\left[\frac{1+x^2}{x} \ln (1-x)+1+\frac{x}{2}\right], & -1 \leqslant x < 1, \text { 且 } x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{cases}
$$
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