一、单选题 （共 22 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设二维随机变量 $(X, Y) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0), U=a X+b Y, V=c X+d Y$, 其中 $a, b, c, d$ 为实 数, 则 $(U, V) \sim N(0,0 ; 1,1 ; 0)$ 是 $\left(\begin{array}{ll}a & b \\ c & d\end{array}\right)$ 为正交矩阵的
$\text{A.}$ 充分必要条件
$\text{B.}$ 充分非必要条件
$\text{C.}$ 必要非充分条件
$\text{D.}$ 非充分非必要条件
设 $X, Y$ 是两个随机变量, $E(X)=2, E(Y)=-1, D(X)=9, D(Y)=16$, 且 $X, Y$ 的相关系数 为 $\rho=-\frac{1}{2}$, 已知由切比雪夫不等式可得 $P\{|X+Y-1| < 10\} \geqslant k$, 则 $k$ 的值等于
$\text{A.}$ $\frac{9}{16}$.
$\text{B.}$ $\frac{3}{4}$.
$\text{C.}$ $\frac{21}{25}$.
$\text{D.}$ $\frac{87}{100}$.
设 $\theta$ 为总体 $X$ 的末知参数, $\theta_1, \theta_2$ 为统计量, $\left(\theta_1, \theta_2\right)$ 为 $\theta$ 的置信度 是 $1-\alpha(0 < \alpha < 1)$ 的置信区间, 则有
$\text{A.}$ $p\left(\theta_1 < \theta < \theta_2\right)=\alpha$
$\text{B.}$ $p\left(\theta_1 < \theta < \theta_2\right)=1-\alpha$
$\text{C.}$ $p\left(\theta < \theta_2\right)=\alpha$
$\text{D.}$ $p\left(\theta_1 < \theta\right)=1-\alpha$
设 $X \sim N\left(2, \sigma^2\right)$. 且 $p(2 < X < 4)=0.3$, 则 $p(X < 0)=$
$\text{A.}$ 0.1
$\text{B.}$ 0.2
$\text{C.}$ 0.3
$\text{D.}$ 0.4
设随机变量 $X_1$ 和 $X_2$ 相互独立, 且均服从参数为 $\lambda$ 的指数分布, 则下列随机 变量中服从参数为 $2 \lambda$ 的指数分布的是
$\text{A.}$ $\max \left(X_1, X_2\right)$
$\text{B.}$ $\min \left(X_1, X_2\right)$
$\text{C.}$ $X_1+X_2$
$\text{D.}$ $X_1-X_2$
设两个相互独立的随机变量 $X$ 和 $Y$ 分别服从正态分布 $N(0,1)$ 和 $N(1,1)$, 则
$\text{A.}$ $P\{X+Y \leq 0\}=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $P\{X+Y \leq 1\}=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $P\{X-Y \leq 0\}=\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $P\{X-Y \leq 1\}=\frac{1}{2}$
对任意两个随机变量 $X$ 和 $Y$, 若 $E(X Y)=E(X) E(Y)$, 则
$\text{A.}$ $X$ 和 $Y$ 独立
$\text{B.}$ $X$ 和 $Y$ 不独立
$\text{C.}$ $D(X Y)=D(X) D(Y)$
$\text{D.}$ $D(X+Y)=D(X)+D(Y)$
设 $(\xi, \eta)$ 服从二维正态分布, 则下列说法中错误的是
$\text{A.}$ $(\xi, \eta)$ 的边际分布仍然是正态分布
$\text{B.}$ 由 $(\xi, \eta)$ 的边际分布可完全确定 $(\xi, \eta)$ 的联合分布
$\text{C.}$ $(\xi, \eta)$ 为二维连续性随机变量
$\text{D.}$ $\xi$ 与 $\eta$ 相互独立的充要条件为 $\xi$ 与 $\eta$ 的相关系数为 0
当 $X$ 服从 ________ 分布时， $E X=D X$.
$\text{A.}$ 指数
$\text{B.}$ 泊松
$\text{C.}$ 正态
$\text{D.}$ 均匀
设 $X-b(n, p)$ 且 $E X=6, D X=3.6$ ，则有
$\text{A.}$ $n=10, p=0.6$
$\text{B.}$ $n=20, p=0.3$
$\text{C.}$ $n=15, p=0.4$
$\text{D.}$ $n=12, p=0.5$
设 $p(x, y), p_{\xi}(x), p_\eta(y)$ 分别是二维随机变量 $(\xi, \eta)$ 的联合密度函数及边缘密度函数，则 ________ 是 $\xi$ 与 $\eta$ 独 立的充要条件.
$\text{A.}$ $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{\eta})=\boldsymbol{E} \boldsymbol{\xi}+\boldsymbol{E} \boldsymbol{\eta}$
$\text{B.}$ $D(\xi+\eta)=D \xi+D \eta$
$\text{C.}$ $\xi$ 与 $\eta$ 不相关
$\text{D.}$ 对 $\forall x, y$, 有 $p(x, y)=p_{\xi}(x) p_\eta(y)$
设随机变量 $X$ 的分布函数为 $F_X(x)=\left\{\begin{array}{l}0, x < 3 \\ 0.8,3 \leqslant x < 5 \\ 1, x \geqslant 5\end{array}\right.$, 随机变量 $Y$ 的分布函数为 $F_Y(x)=$ $\left\{\begin{array}{l}0, x < 5 \\ 0.2,5 \leqslant x < 7 \\ 1, x \geqslant 7\end{array}\right.$, 那么下列说法正确的是
$\text{A.}$ $P(X+Y=10)=0.68$
$\text{B.}$ 若 $X$ 与 $Y$ 不相关, 则 $X$ 与 $Y$ 独立
$\text{C.}$ $X+Y=10$
$\text{D.}$ $P(X=3, Y=7)=0.64$
设 $(X, Y) \sim N\left(\mu_1, \mu_2 ; \sigma_1^2, \sigma_2^2 ; \rho\right)$, 其中 $\sigma_1>0, \sigma_2>0$, 则下列说法中正确的个数有 ( ) 个。
(1). 令 $\left\{\begin{array}{l}U=\frac{X-\mu_1}{\sigma_1} \\ V=\frac{Y-\mu_2}{\sigma_2}\end{array}\right.$, 则 $(U, V) \sim N(0,0 ; 1,1 ; \rho)$
(2). (1)的条件下 $E\left((U-V)^2\right)=\rho$
(3). (1)的条件下, $V=v$ 的条件下: $U \sim N\left(\rho v, 1-\rho^2\right)$
(4). (1)的条件下, 若 $\rho=0$, 那么 $E\left(U^4 V^4\right)=3$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
已知随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)$, 则随机变量函数 $Y=|X|$ 的概率密度 $f_Y(y)$ 为
$\text{A.}$ $f_Y(y)=f(y)+f(-y)$.
$\text{B.}$ $f_Y(y)=\frac{f(y)+f(-y)}{2}$.
$\text{C.}$ $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc}f(y)+f(-y), & y>0, \\ 0, & y \leqslant 0 .\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $f_Y(y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{f(y)+f(-y)}{2}, & y>0, \\ 0, & y \leqslant 0 .\end{array}\right.$
设二维随机变量 $(X, Y) \sim N(0,1 ; 1,4 ; 0)$, 则 $P\{X Y>X\}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
设 $X_1 \sim N(1,1), X_2 \sim N(2,4)$, 又 $X_3 \sim\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ \frac{1}{3} & \frac{2}{3}\end{array}\right)$, 且 $X_1, X_2, X_3$ 相互独立, $Z=\left(X_1-1\right) X_3+\left(X_2-2\right)\left(1-X_3\right)$, 则 $P\{Z \geqslant 0\}=$.
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ $\frac{2}{3}$
将长度为 $1 \mathrm{~m}$ 的木棒随机地截成两段, 设第一段长度的 $\frac{1}{5}$ 为 $X$, 第二段长度的 $\frac{1}{7}$ 为 $Y$, 则 $X, Y$的相关系数 $\rho_{X Y}=$
$\text{A.}$ -1 .
$\text{B.}$ $-\frac{1}{35}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{35}$.
$\text{D.}$ 1
假设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本, 其样本均值为 $\bar{X}$, 如果 $P\{|X-\mu| < a\}=P\{|\bar{X}-\mu| < b\}$, 其中 $\sigma>0$, 则有
$\text{A.}$ $a=n b$.
$\text{B.}$ $b=n a$.
$\text{C.}$ $a=\sqrt{n} b$.
$\text{D.}$ $b=\sqrt{n} a$.
设平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 2,0 \leqslant y \leqslant 4-x^2\right\}$, 在 $D$ 上随机取一点 $(X, Y)$, 令随机变量 $U=\left\{\begin{array}{ll}0, & X \leqslant 1, \\ 1, & X>1,\end{array} \quad V=\left\{\begin{array}{cc}-1, & Y \leqslant 3, \\ 1, & Y>3,\end{array}\right.\right.$ 则 $U$ 和 $V$ 的相关系数 $\rho_{U V}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $\sqrt{\frac{5}{77}}$
$\text{B.}$ $-\sqrt{\frac{5}{77}}$
$\text{C.}$ $\frac{5}{\sqrt{77}}$
$\text{D.}$ $-\frac{5}{\sqrt{77}}$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布律
则 $P\{X+Y \leq 1\}=$
$\text{A.}$ 0.4
$\text{B.}$ 0.3
$\text{C.}$ 0.2
$\text{D.}$ 0.1
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_{100}$ 独立同分布, $E\left(X_i\right)=0, D\left(X_1\right)=1, i=1,2, \cdots, 100$,则由中心极限定理得 $P\left\{\sum_{i=1}^{100} X_i \leq 10\right\}$ 近似于
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\Phi(1)$
$\text{C.}$ $\Phi(10)$
$\text{D.}$ $\Phi(100)$
设总体 $X \sim N(\mu, 1), Y \sim N(\mu, 1)$, 且 $X, Y$ 相互独立, $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 与 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_n$ 分别来自总体 $X, Y$ 的简单随机样本, 设 $X=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, Y=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i, S_X^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$, $S_Y^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(Y_i-\bar{Y}\right)^2$, 则 $\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-\bar{Y})}{\sqrt{S_X^2+S_Y^2}}$ 服从
$\text{A.}$ $t(n-1)$
$\text{B.}$ $t(n)$
$\text{C.}$ $t(2 n)$
$\text{D.}$ $t(2 n-2)$
二、填空题 （共 22 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 相互独立, $X \sim B\left(1, \frac{1}{2}\right), Y \sim P(1), Z=\left\{\begin{array}{l}0, X=0, \\ Y, X=1,\end{array}\right.$ 则 $X$ 与 $Z$ 的相关
系数为
设 $\mathrm{X}$ 与 $\mathrm{Y}$ 相互独立, 且 $\boldsymbol{E}(\boldsymbol{X})=\mathbf{2}, \boldsymbol{E}(\boldsymbol{Y})=\mathbf{3}, \boldsymbol{D}(\boldsymbol{X})=\boldsymbol{D}(\boldsymbol{Y})=\mathbf{1}$, 则 $E\left[(X-Y)^2\right]=$
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 满足 $X+Y=0$. 则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数 $\rho_{X Y}=$
设 $(X, Y)$ 服从二维正态分布, 其概率密度为
$$
f(x, y)=\frac{1}{2 \pi \times 10} \cdot \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{10}\right)},-\infty < x < +\infty,-\infty < y < +\infty,
$$
则概率 $P\{X < Y\}=$
设随机变量 $X$ 服从二项分布 $b(50,0.2)$, 则 $E(X)=$ , $D(X)=$
设随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim N(1,3)$, 且 $X$ 和 $Y$ 相互独立, 则 $D(3 X-2 Y)=$
设 $(\xi, \eta)$ 的联合密度为
$$
p(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
4 x y, & 0 \leq x, y \leq 1 \\
0, & \text { 其它 }
\end{array} ，\right.
$$
求: (1) 边际密度函数 $p_{\xi}(x), p_\eta(y)$ ；
(2) $E \boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{E} \boldsymbol{\eta}$;
(3) $\xi$ 与 $\eta$ 是否独立.
设随机变量 $X$ 的概率密度函数为
$$
f(x)= \begin{cases}\frac{[2 \sin x] \cos x}{2^k}, & x \in\left[2 k \pi, 2 k \pi+\frac{\pi}{2}\right), k \text { 为非负整数, } \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $[2 \sin x]$ 表示不超过 $2 \sin x$ 的最大整数, 则 $E(\sin X)=$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为
$$
f(x, y)= \begin{cases}\frac{C}{\left(2-x^2-y^2\right)^{\frac{3}{2}}}, & \frac{x}{\sqrt{3}} < y < x, 0 < x < 1, \\ 0, & \text { 其他, }\end{cases}
$$
其中 $C$ 为常数.
(I) 求常数 $C$;
(II) 求随机变量 $Z=\frac{Y}{X}$ 的分布函数.
设 $X \sim E(\lambda), Y \sim E(\lambda)$ 且 $X, Y$ 相互独立, $Z=\min \{X, Y\}$, 则 $P\{Z>E(Z)\}=$
设连续函数 $f(x)$ 非负, 且 $f(x) \int_0^1 f(t x) \mathrm{d} t=2 x^2$, 则 $f(x)$ 在区间 $[0,2]$ 上的平均值为
市场上某产品由甲、乙两厂生产. 已知甲厂和乙厂的产品指标服从分布函数 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$,且甲厂的产量是乙厂的 3 倍, 则从市场上任取一件产品, 其指标服从的分布函数为
设随机变量 $X \sim N(0,1), Y \sim N(0,4)$, 且 $X$ 与 $Y$ 相互独立, 又 $F \sim F\left(n_1, n_2\right)$, 记 $\mathrm{P}\left\{F>F_\alpha\left(n_1, n_2\right)\right\}=\alpha(0 < \alpha < 1)$, 若 $\mathrm{P}\left\{\frac{|X|}{|Y|} \leqslant b\right\}=0.9$, 则 $b=$ . (用分位点 $F_\alpha\left(n_1, n_2\right)$ 表示)
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的分布律为
则 $P\{Y=2\}=$
设随机变量 $X \sim N(1,4)$, 则 $D(X)=$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
c x, & 0 < x < 1, \quad 0 < y < 1, \\
0, & \text { 其他, }
\end{array}\right.
$$
(1)求常数 $c$;
(2) 求 $(X, Y)$ 分别关于 $X, Y$ 的边缘摡率密度;
(3) 试问 $X$ 与 $Y$ 是否相互独立, 为什么?
设随机变量$X$的分布律为
记$ Y=X^2$,
求 (1)$ D(X), D(Y)$ (2)$\operatorname{Cov}(X, Y)$
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N(-1,2 ; 2,2 ; \rho)$, 若 $X+Y$ 与 $X-2 Y$ 相互独立, 则 $\rho=$