题号:5668    题型:单选题    来源:2024考研数学第一轮模拟考试试题与答案解析（数一）
设 $X, Y$ 是两个随机变量, $E(X)=2, E(Y)=-1, D(X)=9, D(Y)=16$, 且 $X, Y$ 的相关系数 为 $\rho=-\frac{1}{2}$, 已知由切比雪夫不等式可得 $P\{|X+Y-1| < 10\} \geqslant k$, 则 $k$ 的值等于
$ \text{A.}$ $\frac{9}{16}$. $ \text{B.}$ $\frac{3}{4}$. $ \text{C.}$ $\frac{21}{25}$. $ \text{D.}$ $\frac{87}{100}$.
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答案：
答案：
D

解析：

【分析】记 $Z=X+Y$, 则 $E(Z)=E(X)+E(Y)=1$, 且
$$
\begin{aligned}
D(Z) & =D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2 \operatorname{Cov}(X, Y) \\
& =9+16+2 \times\left(-\frac{1}{2}\right) \sqrt{D(X)} \sqrt{D(Y)}=13,
\end{aligned}
$$
根据切比雪夫不等式,得
$$
P\{|X+Y-1| < 10\}=P\{|Z-E(Z)| < 10\} \geqslant 1-\frac{D(Z)}{10^2}=\frac{87}{100},
$$
即 $k=\frac{87}{100}$. 应选 D.
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