一、单选题 （共 37 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设随机变量 $X$ 的分布列为:
则常数 $c= $
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{4}$
设 $X \sim N(0,1)$ ，又常数 $c$ 满足 $P\{X \geq c\}=P\{X < c\}$ ，则 $c=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ -1
下列结论中， ________ 不是随机变量 $X$ 与 $Y$ 不相关的充 要条件.
$\text{A.}$ $E(X Y)=E(X) E(Y)$
$\text{B.}$ $D(X+Y)=D X+D Y$
$\text{C.}$ $\operatorname{Cov}(X, Y)=0$
$\text{D.}$ $X$ 与 $Y$ 相互独立
设是二维离散型随机变量，则 $X$ 与 $Y$ 独立的充要条件是
$\text{A.}$ $E(X Y)=E X E y$
$\text{B.}$ $D(X+Y)=D X+D Y$
$\text{C.}$ $X$ 与 $Y$ 不相关
$\text{D.}$ 对 $(X, Y)$ 的任何可能取值 $\left(x_i, y_j\right), P_{i j}=P_{i \bullet} \cdot P_{\cdot j}$
设 $(X, Y)$ 联合密度为 $p(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}4 x y, & 0 \leq x, y \leq 1 \\ 0, & \text { 其它 ， }\end{array}\right.$ 若 $F(x, y)$ 为分布函数，则 $F(0.5,2)= $
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
设随机变量 $X \sim N(0,1)$, 以 $|X|$ 为半径作圆, 独立重复操作 10000 次, 所得各圆的面积和为 $S$, 则 $S$ 服从
$\text{A.}$ 正态分布.
$\text{B.}$ $t$ 分布.
$\text{C.}$ $\chi^2$ 分布.
$\text{D.}$ 三者都不对.
已知随机变量 $X_1$ 与 $X_2$ 的分布函数分别为 $F_1(x)$ 与 $F_2(x)$. 我们假设: 如果 $X_i$ 为离散型随机变量, 其概率分布为 $X_i \sim\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1-p_i & p_i\end{array}\right)$ (即 $X_i$ 服从参数为 $p_i$ 的 $0-1$ 分布, $0 < p_i < 1, i=1,2$ ).如果 $X_i$ 为连续型随机变量, 其概率密度为 $f_i(x)(i=1,2)$, 已知 $F_1(x) \leqslant F_2(x)$, 则
$\text{A.}$ $p_1 \leqslant p_2$.
$\text{B.}$ $p_1 \geqslant p_2$.
$\text{C.}$ $f_1(x) \leqslant f_2(x)$.
$\text{D.}$ $f_1(x) \geqslant f_2(x)$.
设随机变量 $X$ 的密度函数为 $f(x)=\frac{2}{\pi} \sqrt{1-x^2}, x \in(-1,1)$. 对任意 $x \in(-1,1)$,若在条件 $X=x$ 下, 随机变量 $Y$ 的条件分布律为
$$
\mathrm{P}\left(Y=-\sqrt{1-x^2}\right)=\mathrm{P}\left(Y=\sqrt{1-x^2}\right)=1 / 2,
$$
则 $Y$ ________ 连续型随机变量, $(X, Y)$ ________ 连续型随机向量.
$\text{A.}$ 是, 是
$\text{B.}$ 是, 不是
$\text{C.}$ 不是, 是
$\text{D.}$ 不是, 不是
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为一列独立同分布的随机变量, 且均服从参数为 $\lambda>0$ 的指数分布. 记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$ 且 $\Phi(x)$ 为标准正态分布函数, 则对任意 $x \in \mathbb{R}$, 有
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{P}\left(\frac{\sqrt{n}}{\lambda}(\bar{X}-\lambda) \leq x\right)=\Phi(x)$
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{P}\left(\sqrt{\frac{n}{\lambda}}(\bar{X}-\lambda) \leq x\right)=\Phi(x)$
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{P}(\sqrt{n}(\lambda \bar{X}-1) \leq x)=\Phi(x)$
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{P}\left(\sqrt{n \lambda}\left(\bar{X}-\frac{1}{\lambda}\right) \leq x\right)=\Phi(x)$
已知 $P(A)=P(B)=\frac{2}{3}$, 又设 $I=P(A \mid B)+P(B \mid A)$, 则 $I$ 的最大可能取值 $I_1$ 和最小可能取值 $I_2$ 之差为
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ 1
甲、乙两人各自独立地向同一目标重复射击两次, 已知每次射击甲命中目标的概率为 $p(0 < p$ $ < 1)$, 乙命中目标的概率为 0.6 , 则使甲、乙两人命中目标次数相等的概率达到最大的 $p$ 为
$\text{A.}$ 0.6
$\text{B.}$ 0.7
$\text{C.}$ $\frac{7}{11}$.
$\text{D.}$ $\frac{8}{11}$.
随机变量 $X$ 的分布函数 $F(x)$, 概率密度为 $f(x), a$ 为常数, 则不能将概率密度设成
$\text{A.}$ $f(x+a)$.
$\text{B.}$ $a f(a x)$.
$\text{C.}$ $f(-x)$.
$\text{D.}$ $2 f(x) F(x)$.
设 $X \sim N\left(2, \sigma^2\right)$, 且 $P\{2 < X < 4\}=0.4$, 则 $P\{|X-2|>2\}=$
$\text{A.}$ 0.1
$\text{B.}$ 0.2
$\text{C.}$ 0.3
$\text{D.}$ 0.4
设随机向量 $(X, Y)$ 的联合分布为 $P\{X=i, Y=j\}=\frac{\mathrm{C}_n^i}{2^{n+j}}(i=0,1, \cdots, n ; j=1,2, \cdots)$, 则 $E(X Y)=$
$\text{A.}$ $\frac{n}{2}$.
$\text{B.}$ $n$.
$\text{C.}$ $\frac{n}{2}+1$.
$\text{D.}$ $2 n$.
设随机变量 $X \sim N(1,1), Y \sim N(-1,1)$, 且 $X, Y$ 相互独立, 则下列结论不正确的是
$\text{A.}$ $(X, Y)$ 服从二维正态分布.
$\text{B.}$ $2 X+Y$ 服从正态分布.
$\text{C.}$ $P\{2 X+Y>1\}=\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $2 X+Y$ 与 $X+2 Y$ 相互独立.
设 $F_1(x)$ 与 $F_2(x)$ 分别是两个随机变量的分布函数, 为使 $F(x)=a F_1(x)-b F_2(x)$ 是某一随机变量的分布函数, 在下列给定的各组数值中应取
$\text{A.}$ $a=\frac{2}{3}, \quad b=\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{2}, b=-\frac{3}{2}$
$\text{C.}$ $a=\frac{3}{5}, b=-\frac{2}{5}$
$\text{D.}$ $a=-\frac{1}{2}, \quad b=\frac{3}{2}$
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
p(x)=\left\{\begin{array}{cc}
A \cos x & 0 < x < \frac{\pi}{2} \\
0 & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
则 $ A=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $\pi$
$\text{D.}$ 0
下列函数为随机变量分布密度的是
$\text{A.}$ $p(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 < x < \frac{\pi}{2} \\ 0, & \text { 其它 }\end{cases}$
$\text{B.}$ $p(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 < x < \frac{3 \pi}{2} \\ 0, & \text { 其它 }\end{cases}$
$\text{C.}$ $p(x)=\left\{\begin{array}{lc}\sin x, & 0 < x < \pi \\ 0, & \text { 其它 }\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $p(x)= \begin{cases}\sin x, & 0 < x < 2 \pi \\ 0, & \text { 其它 }\end{cases}$
下列函数为随机变量分布密度的是
$\text{A.}$ $p(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} e^{-\frac{x^2+x}{2}}$
$\text{B.}$ $p(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}} e^{-(2 x+1)^2}$
$\text{C.}$ $p(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi} \sigma} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2}}$
$\text{D.}$ $p(x)=\frac{1}{2 \sqrt{\pi}} e^{-\frac{x^2-1}{4}}$
设随机变量 $X$ 的摡率密度为 $p(x), Y=-X$, 则 $Y$ 的概率密度为
$\text{A.}$ $-p(y)$
$\text{B.}$ $1-p(-y)$
$\text{C.}$ $p(-y)$
$\text{D.}$ $p(y)$
设 $X$ 服从二项分布 $B(n, p)$, 则
$\text{A.}$ $E(2 X-1)=2 n p$
$\text{B.}$ $D(2 X-1)=4 n p(1-p)+1$
$\text{C.}$ $E(2 X+1)=4 n p+1$
$\text{D.}$ $D(2 X-1)=4 n p(1-p)$
设 $X$ 服从 $N(0,4)$, 则 $E[X(X-2)]=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 4
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ 1
设随机变量$X$ 的分布密度为 $\varphi(x)=\frac{1}{2 \sqrt{\pi}} e^{-\frac{x^2}{4}}(-\infty < x < +\infty)$ ，则$DX=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $1 / 2$
$\text{D.}$ 4
对随机变量 $X$ 来说, 如果 $E X \neq D X$, 则可断定 $X$ 不服从
$\text{A.}$ 二项分布
$\text{B.}$ 指数分布
$\text{C.}$ 正态分布
$\text{D.}$ 泊松分布
设 $X$ 为服从正态分布 $N(-1,2)$ 的随机变量, 则 $E(2 X-1)=$
$\text{A.}$ 9
$\text{B.}$ 6
$\text{C.}$ 4
$\text{D.}$ 3
设 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $N(0,1)$ 的简单随机样本, 记 $\bar{X}=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$, 则 $D\left(\bar{X}^2\right)=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{n^2}$.
$\text{B.}$ $\frac{2}{n^2}$.
$\text{C.}$ $\frac{3}{n^2}$.
$\text{D.}$ $\frac{4}{n^2}$.
设 $Y_1, Y_2, Y_3$ 是来自总体 $Y \sim\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 1-p & p\end{array}\right)(0 < p < 1)$ 的简单随机样本, 令
$$
X_k=\left\{\begin{array}{ll}
1, & Y_1+Y_2+Y_3=k \\
0, & Y_1+Y_2+Y_3 \neq k
\end{array}(k=1,2),\right.
$$
则 $\mathrm{P}\left\{X_1+X_2=1\right\}= $.
$\text{A.}$ $3 p^2+3(1-p)^2$
$\text{B.}$ $3 p(1-p)$
$\text{C.}$ $6 p(1-p)^2$
$\text{D.}$ $6 p^2(1-p)$
设随机变量 $X$ 啒从犙数为 $\lambda$ 的泊松分布, 且满足 $P\{\dot{X}=1\}=\frac{2}{3} P\{X=3\}$, 则 $\lambda=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
设 $X \sim N(1,4), Y \sim B\left(3, \frac{1}{4}\right)$, 且 $X, Y$ 相互独立, 则 $P\{X Y+1>X+Y\}=(\quad)$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{37}{128}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{37}{64}$
已知离散型随机变量 $X$ 与连续型随机变量 $Y$ 相互独立,则
$\text{A.}$ $X+Y$ 为离散型随机变量.
$\text{B.}$ $X Y$ 为离散型随机变量.
$\text{C.}$ $X+Y$ 为连续型随机变量.
$\text{D.}$ $X Y$ 为连续型随机变量.
设随机变量 $X$ 服从 $N\left(27,0.2^2\right)$ 分布, 则其浙近线在 ________ 处
$\text{A.}$ $x=27$
$\text{B.}$ $y=27$
$\text{C.}$ $y=0$
$\text{D.}$ $x=0$
设 $f_1(x)$ 为标准正态分布的概率密度, $f_2(x)$ 为 $[-1,3]$ 上的均匀分布的概率密度, 若 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}a f_1(x), x \leq 0 \\ b f_2(x), x>0\end{array}(a>0, b>0)\right.$ 为随机变量的概率密度, 则 $a, b$ 应满足
$\text{A.}$ $2 a+3 b=4$
$\text{B.}$ $3 a+2 b=4$
$\text{C.}$ $a+b=1$
$\text{D.}$ $a+b=2$
已知随机变量 $X \sim N\left(0, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n, X_{n+1}$ 为总体 $X$ 的简单随机样本, 记 $\bar{X}=$ $\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i, S^2=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2$, 下列说法中:
(1) 若 $\sum_{i=1}^n a_i b_i=0$, 则 $\sum_{i=1}^n a_i X_i$ 与 $\sum_{i=1}^n b_i X_i$ 不相关;
(2) $\frac{\left(X_1-X_2\right)^2}{\left(X_1+X_2\right)^2} \sim F(1,1)$;
(3) $\frac{X_{n+1}-\bar{X}}{S} \sqrt{\frac{n}{n+1}} \sim t(n-1)$.
正确的个数为
$\text{A.}$ 3
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 0
设在区间 $[0,1]$ 上任取 $n$ 个点 $(n \geqslant 2)$, 则距离最远的两点间的平均距离为
$\text{A.}$ $\frac{n-1}{n}$
$\text{B.}$ $\frac{n-1}{2 n}$
$\text{C.}$ $\frac{n-1}{n+1}$
$\text{D.}$ $\frac{n-1}{2(n+1)}$
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\frac{1}{2} \mathrm{e}^{-|x|}, x \in(-\infty,+\infty)$, 则 $\max \{X, 1\}$ 的分布函数
$\text{A.}$ 是连续函数.
$\text{B.}$ 是阶梯函数.
$\text{C.}$ 只有一个间断点.
$\text{D.}$ 有两个间断点.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从正态分布 $N\left(0,0 ; 1,1 ; \frac{1}{2}\right)$, 则
$\text{A.}$ $\frac{(X+Y)^2}{3(X-Y)^2} \sim F(1.1)$.
$\text{B.}$ $X^2+Y^2 \sim \chi^2(2)$.
$\text{C.}$ $\frac{X}{|Y|} \sim t(1)$.
$\text{D.}$ $\frac{(X+Y)^2}{2} \sim \chi^2(1)$.
设 $X \sim N(1,4), Y \sim B\left(3, \frac{1}{4}\right)$, 且 $X, Y$ 相互独立, 则 $P\{X Y+1>X+Y\}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\frac{37}{128}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{37}{64}$