一、单选题 （共 3 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
某盲盒中有 3 枚硬币, 已知一枚硬币是正面朝上的, 则至少有一枚硬币是反面朝上的概率为
$\text{A.}$ $\frac{6}{7}$
$\text{B.}$ $\frac{2}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{4}{7}$
$\text{D.}$ $\frac{1}{3}$
设 $A, B, C$ 是三个随机事件, $0 < P(A) < 1, P(A C)>0$, 则下列说法错误的是
$\text{A.}$ $\mathrm{P}(A B)+\mathrm{P}(A C)+\mathrm{P}(B C) \geqslant \mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B)+\mathrm{P}(C)-1$
$\text{B.}$ $\mathrm{P}(A B)+\mathrm{P}(A C) \geqslant \mathrm{P}(A)+\mathrm{P}(B C)-1$
$\text{C.}$ $\mathrm{P}(B \mid A)>\mathrm{P}(B \mid A C)$
$\text{D.}$ $\mathrm{P}(B \mid A)+\mathrm{P}(B \mid \bar{A}) \geqslant \mathrm{P}(B)$
将一颗骰子独立地捛两次, 引进事件: $A=\{$ 掷第一次出现的点数为 1$\}, B=\{$ 掊第二次虫现的点数为 2$\}, C=\{$ 两次点数之和为 8$\}, D=\{$ 两次点数之和为 7$\}$,则事件
$\text{A.}$ $A$ 与 $C$ 相互独立.
$\text{B.}$ $A$ 与 $D$ 相互独立.
$\text{C.}$ $C$ 与 $D$ 相互独立.
$\text{D.}$ $B$ 与 $C$ 相互独立.
二、填空题 （共 20 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
1. 设 $A 、 B 、 C$ 表示 3 个随机事件, 试将下列事件用 $A 、 B 、 C$ 表示出来:
(1) $A 、 C$ 出现, $B$ 不出现;
(2) 恰好有 2 个事件出现;
(3) 3 个事件中至少有 2 个出现;
(4) 3 个事件中不多于 1 个出现.
在某系中任选一个学生, 令事件 $A$ 表示被选学生是男生, 事件 $B$ 表示该学生是三年级学生, 事件 $C$ 表示该学生是优秀生. 试用 $A 、 B 、 C$ 表示下列事件:
(1) 选到三年级的优秀男生;
（2）选到非三年级的优秀女生;
(3) 选到的男生但不是优秀生;
（4）选到三年级男生或优秀女生.
写出 $n$ 个人组成的班级的一次某学科测验的平均成绩的样本空间。
某市发行 $A 、 B 、 C$ 三种报纸. 在该市的居民中, 订阅 $A$ 报的占 $45 \%$,订阅 $B$ 报的占 $35 \%$, 订阅 $C$ 报的占 $30 \%$, 同时订阅 $A$ 报及 $B$ 报的占 $10 \%$, 同时订阅 $A$ 报及 $C$ 报的占 $8 \%$, 同时订阅 $B$ 报及 $C$ 报的占 $5 \%$, 同时订阅 $A 、 B 、 C$ 报的占 $3 \%$, 求下列事件的概率:
(1) 只订阅 $A$ 报的;
(2) 只订阅 $A$ 报及 $B$ 报的;
(3) 只订阅一种报纸的;
(4) 正好订阅两种报纸的;
(5) 至少订阅一种报纸的;
(6) 不订阅任何报纸的.
掷两粒骰子, 出现的点数之和小于 5 或是偶数的概率是多少?
袋中有 4 粒黑球, 1 粒白球, 每次从中任取一粒, 并换入一粒黑球, 这样连续进行下去, 求第三次取到黑球的概率。
任取一个正整数, 该数的平方的末尾数是 1 的概率是多少?
有 10 本不同的数学书, 5 本不同的外文书, 任意地摆放在书架上, 求 5 本不同的外文书放在一起的概率.
从 $1,2,3,4,5,6,7,8,9$ 这九个数字中任取三个数, 求
(1) 三个数之和为 10 的概率;
(2) 三个数之积为 21 的倍数的概率.
$n$ 个人围着圆桌随机而坐, 那么其中甲、乙两人坐在一起的概率是多少?
甲、乙两人投郑均匀硬币, 甲投掷 $n+1$ 次, 乙投郑 $n$ 次, 那么甲投郑出的正面次数大于乙投掷出的正面次数的概率是多少?
随机地向圆 $x^2+y^2-2 a x=0(a>0)$ 的上半部分内投矨一点, 假设点等可能地落在半圆内任何地方, 那么原点与该点的连线的夹角小于 $\frac{\pi}{4}$ 的概率是多少
设 $A, B$ 是两个事件, 且 $P(A)=0.6, P(B)=0.7$. 问：
(1) 在什么条件下 $P(A B)$ 取到最大值, 最大值是多少?
(2) 在什么条件下 $P(A B)$ 取到最小值, 最小值是多少?
袋中有 5 把钥匙, 只有一把能打开门, 从中任取一把去开门, 求在 (1)有放回; (2) 无放回的两种情况下, 第三次能够打开门的概率。
某种动物由出生活到 20 岁的概率为 0.8 , 活到 25 岁的概率为 0.4 . 问现年 20 岁的这种动物活到 25 岁的概率是多少?
经统计, 某城市肥胖者占 $10 \%$, 中等体型人数占 $82 \%$, 消瘦者占 $8 \%$. 已知肥胖者患高血压的概率为 0.2 , 中等体型者患高血压的概率为 0.1 , 消瘦者患高血压的概率为 0.05 , 求:
(1) 该城市居民患高血压的概率是多少?
(2) 若已知有一个居民患有高血压, 那么该居民最有可能是哪种体型的人?
将 $m$ 个红球与 $n(n \geq m)$ 个白球任意排成一排, 那么至少有两个红球挨着的概率是多少
设袋中有 5 个白球和 3 个黑球, 从中每次无放回地任取一球, 共取 2 次, 求;
(1) 取到的 2 个球颜色相同的概率;
(2) 第二次才取到黑球的概率;
(3) 第二次取到黑球的概率.
为了提高抗菌素生产的产量和质量, 需要对生产菌种进行诱变处理, 然后从一大批经过处理的变异菌株中抽取一小部分来培养、测定, 从中找出优良的菌株. 如果某菌种的优良变异率为 0.03 , 试问从一大批经诱变处理的菌株中, 采取多少只来培养、测定, 才能以 $95 \%$ 的把握从中至少可以选到一只优良菌株?
对某目标进行三次射击, 各次的命中率分别为 $0.2,0.6,0.3$, 计算:
（1）在三次射击中恰好击中一次的概率;
（2）在三次射击中至少击中一次的概率。
三、解答题 （ 共 17 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶，黑漆4桶，红漆3桶，在搬运中所有标签脱落,交货人随意将这些油漆发给顾客. 问一个订货为 4 桶白漆、 3桶黑漆和 2桶红漆的顾客, 能按所订颜色如数得到订货的概率是多少?
掷两颗骰子，一直两颗骰子点数之和为7，求其中有一颗为1点的概率(用两种方法).
某人忘记了电话号码的最后一个数字, 因而他随意地拨号. 求他拨号不 超过三次而接通所需电话的概率. 若巳知最后一个数字是奇数,那么此概率是多 少?
某种产品的商标为 “MAXAM”,其中有 2 个字母脱落, 有人捡起随意放回,求放回后仍为 “MAXAM" 的概率.
已知男子有 $5 \%$ 是色斍恋者, 女子有 $0.25 \%$ 是色面患者. 今从男女人数 相等的人群中随机地挑选一人, 恰好是色斍者, 问此人是男性的概率是多少?
有两种花籽, 发芽率分别为 $0.8,0.9$, 从中各取一颗, 设各花籽是否发芽 相互独立. 求
（1）这两颗花籽都能发芽的概率.
（2）至少有一颗能发芽的概率.
（3）恰有一颗秕发芽的概率.
根据报导美国人血型的分布近似地为： $\mathrm{A}$ 型为 $37 \%, \mathrm{O}$ 型为 $44 \%, \mathrm{~B}$ 型 为 $13 \%, \mathrm{AB}$ 型为 $6 \%$. 夫妻拥有的血型是相互独立的.
（1） $\mathrm{B}$ 型的人只有输人 $\mathrm{B} 、 \mathrm{O}$ 两种血型才安全. 若妻为 $\mathrm{B}$ 型, 夫为何种血型 末知,求夫是妻的安全输血者的概率.
（2） 随机地取一对夫如, 求妻为 $\mathrm{B}$ 型夫为 $\mathrm{A}$ 型的概率.
（3） 䑊机地取一对夫如,求其中一人为 $\mathrm{A}$ 型,另一人为 $\mathrm{B}$ 型的概率.
（4） 随机地取一对夫妇,求其中至少有一人是 $\mathrm{O}$ 型的概率.
有一种检验艾滋病毒的检验法, 其结果有概率 0.005 报道为假阳性. (即不带艾滋病毒者, 经此检验法有 0.005 的概率被认为带艾滋病毒). 今有 140 名不带艾濨病毒的正常人全部接受此种检验, 被报导至少有一人带艾滋病毒的概率为多少?
如果一危险情况 $C$ 发生时, 一电路闭合并发出警报, 我们可以借用两个 或多个开关并联以改善可靠性. 在 $C$ 发生时这些开关每一个都应闭合, 且若至 少一个开关闭合了, 警报就发出, 如果两个这样的开关并联连接, 它们每个具有 0.96 的可靠性 (即在情况 $C$ 发生时闭合的概率), 问这时系统的可靠性 (即电路 闭合的概率) 是多少? 如果需要有一个可靠性至少为 0.9999 的系统, 则至少需 要用多少只开关并联? 设各开关闭合与否是相互独立的.
三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为 $\frac{1}{5}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}$. 问三人中至少有一人能将此密码译出的概率是多少?
设第一只盒子中装有 3 只蓝球, 2 只绿球, 2 只白球; 第二只盒子中装有 2 只蕴球, 3 只绿球, 4 只白球. 独立地分别在两只盒子中各取一只球.
(1) 求至少有一只蕰球的概率.
(2) 求有一只蓝球一只白球的概率.
(3) 已知至少有一只蓝球,求有一只蓝球一只白球的概率.
袋中装有 $m$ 枚正品硬币、 $n$ 枚次品硬币 (次品硬币的两面均印有国徽), 在袋中任取一枚, 将它投挪 $r$ 次,已知每次都得到国徽. 问这枚硬币是正品的概 率为多少?
将 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C}$ 三个字母之一输人信道, 输出为原字母的概率为 $\alpha$, 而输出为 其他一字母的概率都是 $\frac{1-\alpha}{2}$. 今将字母串 AAAA, BBBB, CCCC 之一输人信道, 输人 AAAA, BBBB, CCCC 的概率分别为 $p_1, p_2, p_1\left(p_1+p_2+p_3=1\right)$, 已知输出 为 $\mathrm{ABCA}$, 问输人的是 $\mathrm{AAAA}$ 的概率是多少? (设信道传输各个字母的工作是 相互独立的.)
甲、乙两门高射炮彼此独立地向一架飞机各发一炮, 甲、乙击中飞机的概率分别为 0.3 和 0.4 , 则飞机至少被击中一炮的概率为?
设随机变量 $A$ 为 $x \in(-5,7)$ 上的均匀分布, 则关于 $x$ 的方程 $9 x^2+6 A x+A+6=0$ 有实根的概率为?
仓库中有 10 箱同种规格的产品, 其中 2 箱、 3 箱、 5 箱分别由甲、乙、丙三个厂生产, 三个厂的正品率分别为 $0.7,0.8,0.9$, 现在从这 10 箱产品中任取一箱, 再从中任取一件
(1) 求取出的产品为正品的概率
(2) 如果取出的是正品, 求此件产品由乙厂生产的概率
某保险公司把被保险人分为 3 类: “谨傎的”、“一般的”、“冒失的”, 统计资料表明, 这 3种人在一年内发生事故的概率依次为 $0.05,0.15,0.30$; 如果 “谨慎的” 被保险人占 $20 \%$, “一般的占 $50 \%$, “冒失的” 占 $30 \%$, 问:
(1) 一个被保险人在一年内出事故的概率是多大?
(2) 若已知某被保险人出了事故, 求他是 “谨慎的” 类型的概率。