将 $\mathrm{A} 、 \mathrm{~B} 、 \mathrm{C}$ 三个字母之一输人信道, 输出为原字母的概率为 $\alpha$, 而输出为 其他一字母的概率都是 $\frac{1-\alpha}{2}$. 今将字母串 AAAA, BBBB, CCCC 之一输人信道, 输人 AAAA, BBBB, CCCC 的概率分别为 $p_1, p_2, p_1\left(p_1+p_2+p_3=1\right)$, 已知输出 为 $\mathrm{ABCA}$, 问输人的是 $\mathrm{AAAA}$ 的概率是多少? (设信道传输各个字母的工作是 相互独立的.)