一、单选题 （共 12 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
若矩阵 $A$ 经初等列变换化成 B, 则（）
$\text{A.}$ 存在矩阵 $P$, 使得 $P A=B$
$\text{B.}$ 存在矩阵 $P$, 使得 $B P=A$
$\text{C.}$ 存在矩阵 $P$, 使得 $P B=A$
$\text{D.}$ 方程组 $A x=0$ 与 $B x=0$ 同解
已知直线 $L_1: \frac{x-a_2}{a_1}=\frac{y-b_2}{b_1}=\frac{2-c_2}{c_1}$ 与直线 $L_2: \frac{x-a_3}{a_2}=\frac{y-b_3}{b_2}=\frac{z-c_3}{c_2}$ 相交于一点, 法向量 $a_i=\left[\begin{array}{l}a_i \\ b_i \\ c_i\end{array}\right], i=1,2,3$. 则
$\text{A.}$ $a_1$ 可由 $a_2, a_3$ 线性表示
$\text{B.}$ $a_2$ 可由 $a_1, a_3$ 线性表示
$\text{C.}$ $a_3$ 可由 $a_1, a_2$ 线性表示
$\text{D.}$ $a_1, a_2, a_3$ 线性无关
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}a & 0 & -1 & 1 \\ 0 & a & 1 & -1 \\ -1 & 1 & a & 0 \\ 1 & -1 & 0 & a\end{array}\right|=$________.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$
设 $\mathrm{A}$ 与 $\mathrm{B}$ 均为三阶矩阵, $k>0$ 则下式成立的是
$\text{A.}$ $|k A|=k|A|$
$\text{B.}$ $(k A)^{-1}=k A^{-1}$
$\text{C.}$ $|A B|=|A||B|$
$\text{D.}$ $|A+B|=|A|+|B|$
设 $\mathrm{A}$ 为 2 阶可逆矩阵, 且 $(2 A)^{-1}=\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right]$, 则 $\mathrm{A}=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right]^{-1}$
$\text{B.}$ $2\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right]^{-1}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $2\left[\begin{array}{ll}1 & 2 \\ 3 & 4\end{array}\right]$
向量组 $\mu_1=\left[\begin{array}{l}a \\ 1 \\ 1\end{array}\right], \mu_2=\left[\begin{array}{l}1 \\ a \\ 1\end{array}\right], \mu_3=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ a\end{array}\right]$, 则该向量组
$\text{A.}$ 线性相关
$\text{B.}$ 当 $a \neq 1$ 且 $a \neq-2$ 时线性无关
$\text{C.}$ 线性无关
$\text{D.}$ 当 $a \neq 1$ 时线性无关
设 $\eta_1, \eta_2, \eta_3$ 为三元线性方程组 $A X=b$ 的解向量, $\mathrm{A}$ 的秩为 $2, \eta_1+\eta_2=(2,0,4)^T$, $\eta_2+\eta_3=(1,-2,1)^T$, 则对任意常数 $\mathrm{k}, A X=b$ 的通解为
$\text{A.}$ $(1,0,2)^T+k(1,2,3)^T$
$\text{B.}$ $(2,0,4)^T+k(1,-2,1)^T$
$\text{C.}$ $(1,-2,1)^T+k(2,0,4)^T$
$\text{D.}$ $(1,0,2)^T+k(1,-2,1)^T$
设有齐次线性方程组 $A x=0$ 和 $B x=0$, 其中 $A, B$ 均为 $m \times n$ 矩阵, 下列有四个命 题:
(1) 若 $A x=0$ 的解均是 $B x=0$ 的解, 则 $r(A) \geq r(B)$;
(2) 若 $r(A) \geq r(B)$, 则 $A x=0$ 的解均是 $B x=0$ 的解;
(3)若 $A x=0$ 与 $B x=0$ 同解, 则 $r(A)=r(B)$;
(4)若 $r(A)=r(B)$, 则 $A x=0$ 与 $B x=0$ 同解.
以上命题中正确的是
$\text{A.}$ $(1)(2)$
$\text{B.}$ $(3)(4)$
$\text{C.}$ $(2)(4)$
$\text{D.}$ $(1)(3)$
设 $A, P$ 均为 3 阶方阵, $P^T$ 为 $P$ 的转置矩阵, 且 $P^T A P=\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$, 若 $P=$ $\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right), Q\left(\alpha_1+\alpha_2, \alpha_2, \alpha_3\right)$, 则 $Q^T A Q$ 为
$\text{A.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$
$\text{B.}$ $\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$
$\text{C.}$ $\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$
$\text{D.}$ $\left[\begin{array}{lll}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right]$
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $m \times n$ 矩阵, $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)^{\mathrm{T}}$, 则下列说法中错误的是
$\text{A.}$ 如果对任意 $m$ 维列向量 $\boldsymbol{b}$, 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有解, 则 $m \geqslant n$
$\text{B.}$ 如果 $r(A)=m$, 则对任意 $m$ 维列向量 $\boldsymbol{b}$, 方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有解
$\text{C.}$ 对任意 $m$ 维列向量 $\boldsymbol{b}$, 方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{b}$ 有解
$\text{D.}$ 如果 $r(\boldsymbol{A})=n$, 则对任意 $n$ 维列向量 $\boldsymbol{b}$, 方程组 $\boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 有解
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & -3 & 1 & -2 \\ 2 & -5 & -2 & -2 \\ 0 & -4 & 5 & 1 \\ -3 & 9 & -6 & 7\end{array}\right), M_3$, 是 $\boldsymbol{A}$ 的第 3行第 $j$ 列元素的余子式 $(j=1,2,3,4)$, 则 $M_{31}+3 M_{32}-2 M_{33}+2 M_{34}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ $-2$.
$\text{D.}$ $-3$.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵, 将 $\boldsymbol{A}$ 的第 2 列加到第 3 列得矩阵 $\boldsymbol{B}$, 再将 $\boldsymbol{B}$ 的第 3 行的 $-1$ 倍加到第 2 行得 $\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & a\end{array}\right)$, 其中 $a$ 为常数, 则 $\boldsymbol{A}$ 的 3 个特征值为
$\text{A.}$ $1,2, a$.
$\text{B.}$ $1,2,-2$.
$\text{C.}$ $1,-1,2$.
$\text{D.}$ $1, a,-a$.
二、填空题 （共 3 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
向量组 $\alpha_1=(1,-1,0)^T, \alpha_2=(2,4,1)^T, \alpha_3=(1,5,1)^T$ 的秩为
设 $A$ 是三阶方阵, $I$ 是三阶单位矩阵, 且 $|A+I|=0,|A+2 I|=0,|A+3 I|=0$, 则 $|A+4 I|=$
设 $A, B, C$ 为三个事件, 用 $A, B, C$ 的运算关系表示下列各事件:
(1) $A$ 发生, $B$ 与 $C$ 不发生.
(2) $A$ 与 $B$ 都发生,而 $C$ 不发生.
(3) $A, B, C$ 中至少有一个发生.
(4) $A, B, C$ 都发生.
(5) $A, B, C$ 都不发生.
(6) $A, B, C$ 中不多于一个发生.
(7) $A, B, C$ 中不多于两个发生.
(8) $A, B, C$ 中至少有两个发生.
三、解答题 （ 共 25 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设二次型 $f\left(x_1, x_2\right)=x_1^2+4 x_1 x_2+4 x_2^2$ 经正交变换 $\left(\begin{array}{l}x_1 \\ x_2\end{array}\right)=Q\left(\begin{array}{l}y_1 \\ y_2\end{array}\right)$ 化为二次型 $g\left(y_1, y_2\right)=a y_1^2+4 y_1 y_2+b y_2^2$, 其中 $a \geq b$.
(1) 求 $a, b$ 的值.
（2）求正交矩阵 $Q$.
设 $A=\left[\begin{array}{ll}2 & 1 \\ 1 & 1\end{array}\right]$, 矩阵 $\mathrm{X}$, 使 $A X=A+2 E$
求线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}-x_1+x_2+2 x_3=1 \\ x_1-x_2+x_3=2 \\ 5 x_1-5 x_2-4 x_3=1\end{array}\right.$ 的通解
设 $\mathrm{A}$ 为满足等式 $A^2-3 A+2 E=0$ 的矩阵, 证明 $\mathrm{A}$ 可逆, 并求 $A^{-1}$
设矩阵 $A=\left(a_{i j}\right)_{(n-1) \times n}$ 的行向量组的转置都是方程组 $\sum_{i=1}^n x_i=0$ 的解, $M_i$ 是矩阵 $A$ 中化去第 $i$ 列剩下的 $(n-1) \times(n-1)$ 矩阵的行列式, 试证:
(1) $\sum_{i=1}^n(-1)^i M_i=0$ 的充要条件是 $A$ 的行向量组的转置不是方程组 $\sum_{i=1}^n x_i=0$ 的基础 解系;
(2)若 $\sum_{i=1}^n(-1)^i M_i=1$, 试求每个 $M_i$ 的值.
已知 1 是三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值, 且
$$
\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & -2 \\
2 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
0 & 4 \\
0 & -4 \\
0 & 2
\end{array}\right)
$$
(1) 求 $A$ 的所有特征值和对应的特征向量.
(2) 如果 $\boldsymbol{\beta}=(-1,1,-5)$, 求 $\boldsymbol{A}^n \boldsymbol{\beta}$.
(3) 设向量 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}$, 求方程 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=0$ 的通解.
设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+2 x_3^2-2 x_1 x_3, g\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_3^2-2 x_1 x_2-2 x_1 x_3$.
(1) 求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$, 使得 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 可用合同变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{C y}$ 化为标准形;
(2) 记 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩阵为 $\boldsymbol{B}$, 求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B C}\right) \boldsymbol{Q}$ 为对角矩阵;
(3) 求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{T}$, 使得在合同变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{T} \boldsymbol{y}$ 下可将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 与 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 同时化 为标准形.
设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆矩阵, $\boldsymbol{A}^*$ 是 $\boldsymbol{A}$ 的伴随矩阵, 且有 $\boldsymbol{A B A} \boldsymbol{A}^*=2 \boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{-1}+\boldsymbol{E}$. 试证：
(1) $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{B A}$;
(2) $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{A}$ 有完全相同的特征向量;
（3） $\boldsymbol{B}$ 与 $\boldsymbol{A}$ 是否相似? 请说明理由.
10片药片中有 5 片是安慰剂.
（1）从中任意抽取 5 片,求其中至少有 2 片是安慰剂的概率.
（2）从中每次取一片,作不放回抽样, 求前 3 次都取到安慰剂的概率.
在房间里有 10 个人, 分别佩戴从 1 号到 10 号的纪念章, 任选 3 人记录其纪念章的号码.
（1）求最小号码为 5 的概率.
（2）求最大号码为 5 的概率.
在 1500 件产品中有 400 件次品、1100 件正品. 任取 200 件.
（1）求恰有 90 件次品的概率.
（2）求至少有 2 件次品的概率.
从 5 双不同的鞋子中任取 4 只,问这 4 只鞋子中至少有两只配成一双的 概率是多少?
在 11 张卡片上分别写上 probability 这 11 个字母, 从中任意连抽 7 张, 求其排列结果为 ability 的概率.
将 3 只球随机地放人 4 个杯子中去, 求杯子中球的最大个数分别为 1 , 2,3 的概率.
50 只铆钉随机地取来用在 10 个部件上,其中有 3 只铆钉强度太弱. 每 个部件用 3 只铆钉. 若将 3 只强度太弱的铆钉都装在一个部件上, 则这个部件强 度就太弱. 问发生一个部件强度太弱的概率是多少?
一倶乐部有 5 名一年级学生, 2 名二年级学生, 3 名三年级学生,2名四 年级学生.
（1）在其中任选 4 名学生,求一、二、三、四年级的学生各一名的概率.
（2）在其中任选 5 名学生,求一、二、三、四年级的学生均包含在内的概率.
据以往资料表明,㭉一 3 口之家, 患某种传架病的概率有以下规律： $P\{$ 孩子得病 $\}=0.6, P\{$ 母亲得病 $\mid$ 孩子得病 $\}=0.5$, $P\{$ 父杀得病 $\mid$ 母亲及孩子得病 $\}=0.4$, 求母亲及孩子得病但父亲末得病的概率。
已知在 10 件产品中有 2 件次品, 在其中取两次, 每次任取一件, 作不放 回抽样. 求下列事件的概率:
(1) 两件都是正品;
(2)两件都是次品;
(3) 一件是正品,一件是次品；
(4) 第二次取出的是次品.
（1）设甲袋中装有 $n$ 只白球、 $m$ 只红球，乙袋中装有 $N$ 只白球、 $M$ 只红 球. 今从甲袋中任意取一只球放人乙袋中, 再从乙袋中任意取一只球, 问取到白 球的概率是多少?
（2）第一只盒子装有 5 只红球, 4 只白球; 第二只盒子装有 4 只红球, 5 只白 球. 先从第一盒中任取 2 只球放人第二盒中去, 然后从第二盒中任取一只球. 求 取到白球的概率.
一学生接连参加同一课程的两次考试. 第一次及格的概率为 $p$, 若第一 次及格则第二次及格的概率也为 $p$; 若第一次不及格则第二次及格的概率为 $\frac{p}{2}$.
（1）若至少有一次及格则他能取得某种资格, 求他取得该资格的概率.
（2）若已知他第二次已经及格,求他第一次及格的概率.
将两信息分别编码为 $A$ 和 $B$ 传送出去,接收站收到时, $A$ 被误收作 $B$ 的概率为 0.02 , 而 $B$ 被误收作 $A$ 的概率为 0.01 . 信息 $A$ 与信息 $B$ 传送的频笅 程度为 $2: 1$. 若接收站收到的信息是 $A$,问原发信息是 $A$ 的概率是多少?
有两箱同种类的零件,第一箱装 50 只, 其中 10 只一等品 $;$ 第二箱装 30 只, 其中 18 只一等品. 今从两箱中任挑出一箱, 然后从该箱中取零件两次, 每次 任取一只,作不放回抽样, 求
(1) 第一次取到的零件是一等品的概率.
(2) 在第一次取到的零件是一等品的条件下, 第二次取到的也是一等品的 概率.
某人下午 5：00下班,他所积累的资料表明：
某日他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘 汽车,结果他是 $5: 47$ 到家的. 试求他是乘地铁回家的概率.
病树的主人外出, 委托邻居浇水, 设已知如果不浇水, 树死去的概率为 0.8 . 若浇水则树死去的概率为 0.15 . 有 0.9 的把暒确定邻居会记得浇水.
(1) 求主人回来树还活着的概率.
(2) 若主人回来树已死去,求邻居忘记浇水的概率.
设根据以往记录的数据分析, 某船只运输的某种物品捑坏的情况共有三 种：㧹坏 $2 \%$ (这一事件记为 $A_1$ ), 㧹坏 $10 \%$ (事件 $A_2$ ), 损坏 $90 \%$ (事件 $A_3$ ), 且知 $P\left(A_1\right)=0.8, P\left(A_2\right)=0.15, P\left(A_3\right)=0.05$. 现在从已被运输的物品中随机地取 3 件, 发现这 3 件都是好的 (这一事件记为 $B$ ). 试求 $P\left(A_1 \mid B\right), P\left(A_2 \mid B\right)$, $P\left(A_3 \mid B\right)$ (这里设物品件数很多, 取出一件后不影响取后一件是否为好品的 概率).