已知 1 是三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值, 且
$$
\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & -2 \\
2 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
0 & 4 \\
0 & -4 \\
0 & 2
\end{array}\right)
$$
(1) 求 $A$ 的所有特征值和对应的特征向量.
(2) 如果 $\boldsymbol{\beta}=(-1,1,-5)$, 求 $\boldsymbol{A}^n \boldsymbol{\beta}$.
(3) 设向量 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}$, 求方程 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=0$ 的通解.