题号:2571    题型:解答题    来源:向禹老师2021考研数学一模拟卷
已知 1 是三阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值, 且
$$
\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
2 & -2 \\
2 & 1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
0 & 4 \\
0 & -4 \\
0 & 2
\end{array}\right)
$$
(1) 求 $A$ 的所有特征值和对应的特征向量.
(2) 如果 $\boldsymbol{\beta}=(-1,1,-5)$, 求 $\boldsymbol{A}^n \boldsymbol{\beta}$.
(3) 设向量 $\boldsymbol{x}=\left(x_1, x_2, x_3\right)^{\mathrm{T}}$, 求方程 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=0$ 的通解.
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答案:

(1) $\lambda_1=0, k_1 \boldsymbol{\alpha}_1=k_1(1,2,2)^{\mathrm{T}}, k_1 \neq 0 ; \lambda_2=2, k_2 \alpha_2=k_2(2,-2,1)^{\mathrm{T}}, k_2 \neq 0 ; \lambda_3=$ $1, k_3 \alpha_3=k_3(2,1,-2)^{\mathrm{T}}, k_3 \neq 0$.
(2) 注意到 $\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{\alpha}_1$, 则 $\boldsymbol{A}^n \boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{A}^n \boldsymbol{\alpha}_3-\boldsymbol{A}^n \boldsymbol{\alpha}_2-\boldsymbol{A}^n \boldsymbol{\alpha}_1=\boldsymbol{\alpha}_3-2^n \boldsymbol{\alpha}_2$.
$$
\begin{gathered}
\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{lll}
0 & & \\
& 2 & \\
& & \\
& 1
\end{array}\right)\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)^{-1}=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}
4 & -2 & 0 \\
-2 & 3 & -2 \\
0 & -2 & 2
\end{array}\right) \\
3 \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=4 x_1^2+3 x_2^2+2 x_3^2-4 x_1 x_2-4 x_2 x_3=\left(2 x_1-x_2\right)^2+2\left(x_2-x_3\right)^2=0 \text {, 于是 } \\
\left\{\begin{array}{l}
2 x_1-x_2=0 \\
x_2-x_3=0
\end{array}\right.
\end{gathered}
$$
解得 $\left(x_1, x_2, x_3\right)=k(1,2,2)^{\mathrm{T}}, k$ 为任意常数.
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