设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+x_2^2+2 x_3^2-2 x_1 x_3, g\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_3^2-2 x_1 x_2-2 x_1 x_3$.
(1) 求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{C}$, 使得 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 可用合同变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{C y}$ 化为标准形;
(2) 记 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 的矩阵为 $\boldsymbol{B}$, 求正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$, 使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B C}\right) \boldsymbol{Q}$ 为对角矩阵;
(3) 求一个可逆矩阵 $\boldsymbol{T}$, 使得在合同变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{T} \boldsymbol{y}$ 下可将 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 与 $g\left(x_1, x_2, x_3\right)$ 同时化 为标准形.