一、解答题 （ 共 40 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $S$ 为椭球面 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+z^2=1$ 的上半部分，点 $P(x, y, z) \in S ， \pi$ 为 $S$ 在点 $P$ 处的切平面， $\rho(x, y, z)$ 为点 $O(0,0,0)$ 到平面 $\pi$ 的距离，求 $\iint_S \frac{z \mathrm{~d} S}{\rho(x, y, z)}$.
计算二重积分 $\iint_D y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x=-2$, $y=0, y=2$ 以及曲线 $x=-\sqrt{2 y-y^2}$ 所围成的平面区域.
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{lc}x^2 y, 1 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq x \\ 0, & \text { 其他 }\end{array}\right.$ ，求 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \geq 2 x\right\}$.
计算二重积分 $\iint_D \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{\sqrt{4 a^2-x^2-y^2}} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中 $D$ 是由曲线 $y=-a+\sqrt{a^2-x^2}(a>0)$ 和直线 $y=-x$ 围成区域.
求二重积分 $I=\iint_D y\left[1+x e^{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的值, 其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=-1$ 及 $x=1$ 围成的平面区域.
计算二重积分 $\iint_D e^{\max \left\{x^2, y^2\right\}} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}
$$
设闭区域 $D: x^2+y^2 \leq y, x \geq 0 . f(x, y)$ 为 $D$ 上的连
续函数。
$$
f(x, y)=\sqrt{1-x^2-y^2}-\frac{8}{\pi} \iint_D f(u, v) \mathrm{d} u \mathrm{~d} v .
$$
求 $f(x, y)$.
设函数 $f(x)$ 连续且恒大于零，
$$
\begin{aligned}
F(t) & =\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} v}{\iint_{D(t)} f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} \sigma} \\
G(t) & =\frac{\iint_{D(t)} f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} \sigma}{\int_{-t}^t f\left(x^2\right) \mathrm{d} x}
\end{aligned}
$$
其中 $\Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq t^2\right\}$,
$$
D(t)=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq t^2\right\}
$$
（1）讨论 $F(t)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内的单调性.
（2）证明当 $t>0$ 时， $F(t)>\frac{2}{\pi} G(t)$.
计算二重积分 $I=\iint_D e^{-\left(x^2+y^2-\pi\right)} \sin \left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.其中积分区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq \pi\right\}$.
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq \sqrt{2}, x \geq 0, y \geq 0\right\}$ ， $\left[1+x^2+y^2\right]$ 表示不超过 $1+x^2+y^2$ 的最大整数. 计算二重积分 $\iint_D x y\left[1+x^2+y^2\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
计算二重积分 $\iint_D\left|x^2+y^2-1\right| \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}
$$
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x \geq 0\right\}$ ，计算二重积分 $I=\iint_D \frac{1+x y}{1+x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, x \geq 0\right\}$ ，计算二重积分 $I=\iint_D \frac{1+x y}{1+x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
计算二重积分 $\iint_D \sqrt{y^2-x y} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=1, x=0$ 所围成的平面区域.
设二元函数
$$
f(x, y)= \begin{cases}x^2, & |x|+|y| \leq 1 \\ \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}, & 1 < |x|+|y| \leq 2\end{cases}
$$
计算二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ ，其中
$$
D=\{(x, y)|| x|+| y \mid \leq 2\}
$$
计算 $\iint_D \max \{x y, 1\} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 2,0 \leq y \leq 2\}$
求二重积分 $\iint_D(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^2+(y-1)^2 \leq 2, y \geq x\right\}
$$
求二重积分 $\iint_D(x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\left\{(x, y) \mid(x-1)^2+(y-1)^2 \leq 2, y \geq x\right\}
$$
计算二重积分 $I=\iint_D r^2 \sin \theta \sqrt{1-r^2 \cos 2 \theta} \mathrm{d} r \mathrm{~d} \theta$ ，其中 $D=\left\{(r, \theta) \mid 0 \leq r \leq \sec \theta, 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}\right\}$.
计算二重积分 $\iint_D(x+y)^3 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由曲线 $x=\sqrt{1+y^2}$ 与直线 $x+\sqrt{2} y=0$ 及 $x-\sqrt{2} y=0$ 围成.
已知函数 $f(x, y)$ 具有二阶连续偏导数，且 $f(1, y)=0$ ， $f(x, 1)=0 ， \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=a$ ，其中
$$
D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\} ，
$$
计算二重积分
$$
I=\iint_D x y f_{x y}^{\prime \prime}(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y .
$$
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 有连续导数， $f(0)=1$ ，且满足
$$
\iint_{D_t} f^{\prime}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_t} f(t) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $D_t=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq t-x, 0 \leq x \leq t\}(0 < t \leq 1)$ ，求 $f(x)$ 的表达式.
计算二重积分 $\iint_D x y \mathrm{~d} \sigma$ ，其中区域 $D$ 为曲线 $r=1+\cos \theta(0 \leq \theta \leq \pi)$ 与极轴围成。
计算二重积分 $\iint_D e^x x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是以曲线 $y=\sqrt{x}, y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ 及 $y$ 轴为边界的无界区域.
设平面区域 $D$ 是由直线 $x=3 y, y=3 x, x+y=8$ 围成，计算 $\iint_D x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设平面区域 $D$ 是由直线 $x=3 y, y=3 x, x+y=8$ 围成，计算 $\iint_D x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
计算二重积分 $\iint_D x(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ ，其中
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2, y \geq x^2\right\} .
$$
计算二重积分 $\iint_D x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 为平面区域
$$
D=\left\{(r, \theta) \mid 2 \leq r \leq 2(1+\cos \theta),-\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\right\}
$$
设 $D$ 是由直线 $y=1, y=x, y=-x$ 围成的有界区域，计算二重积分 $\iint_D \frac{x^2-x y-y^2}{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2 y\right\}$ ，计算二重积分 $\iint_D(x+1)^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
计算积分 $\iint_D \frac{y^3}{\left(1+x^2+y^4\right)^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 是第一象限中曲线 $y=\sqrt{x}$ 与 $x$ 轴边界的无界区域。
求 $\iint_D x^2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $D$ 由 $y=\sqrt{3\left(1-x^2\right)}$ 与 $y=\sqrt{3} x$ 和 $y$ 轴围成.
已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \| x \mid \leq y,\left(x^2+y^2\right)^3 \leq y^4\right\}$ ，求 $\iint_D \frac{x+y}{\sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
计算二重积分 $\iint_D \frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x} \mathrm{~d} \sigma$ ，其中区域 $D$ 由 $x=1, x=2, y=x$ 及 $x$ 轴围成.
设区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 1, y \geq 0\right\}
$$
连续函数 $f(x, y)$ 满足
$$
f(x, y)=y \sqrt{1-x^2}+x \iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
计算 $\iint_D x f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设有界区域 $D$ 是 $x^2+y^2=1$ 和直线 $y=x$ 及 $x$ 轴在第一象限围成的 部分，计算二重积分
$$
I=\iint_D e^{(x+y)^2}\left(x^2-y^2\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
曲线 $\left(x^2+y^2\right)^2=x^2-y^2(x \geq 0, y \geq 0)$与 $x$ 轴围成的区域为 $D$ ，计算二重积分 $I=\iint_D x y \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
计算二重积分 $\iint_D \frac{(x-y)^2}{x^2+y^2} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中区域 $D$ 为 $y=x+2$ 与 $y=\sqrt{4-x^2}$ 以及 $x$ 轴所围成的区域.
已知平面区域
$$
D=\left\{(x, y) \mid \sqrt{1-y^2} \leq x \leq 1,-1 \leq y \leq 1\right\}
$$
计算 $I=\iint_D \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$.
设有界区域 $D$ 位于第一象限，由曲线 $x y=\frac{1}{3}, x y=3$ 与直线 $y=\frac{1}{3} x, y=3 x$ 围成，计算 $I=\iint_D(1+x-y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.