设函数 $f(x)$ 连续且恒大于零，
$$
\begin{aligned}
F(t) & =\frac{\iiint_{\Omega(t)} f\left(x^2+y^2+z^2\right) \mathrm{d} v}{\iint_{D(t)} f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} \sigma} \\
G(t) & =\frac{\iint_{D(t)} f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} \sigma}{\int_{-t}^t f\left(x^2\right) \mathrm{d} x}
\end{aligned}
$$
其中 $\Omega(t)=\left\{(x, y, z) \mid x^2+y^2+z^2 \leq t^2\right\}$,
$$
D(t)=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq t^2\right\}
$$
（1）讨论 $F(t)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 内的单调性.
（2）证明当 $t>0$ 时， $F(t)>\frac{2}{\pi} G(t)$.