一、单选题 （共 25 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $y=f(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+4 y=0$ 的一个解, 且 $f\left(x_{0}\right)>0, f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$, 则函数 $f(x)$ 在点 $x_{0}$ 处
$\text{A.}$ 取得极大值.
$\text{B.}$ 取得极小值.
$\text{C.}$ 某邻域内单调增加.
$\text{D.}$ 某邻域内单调减少.
设线性无关的函数 $y_{1}, y_{2}, y_{3}$ 都是二阶非齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)$ 的解, $C_{1}, C_{2}$ 是任意常数, 则该非齐次方程的通解是 ( )
$\text{A.}$ $C_{1} y_{1}+C_{2} y_{2}+y_{3}$.
$\text{B.}$ $C_{1} y_{1}+C_{2} y_{2}-\left(C_{1}+C_{2}\right) y_{3}$.
$\text{C.}$ $C_{1} y_{1}+C_{2} y_{2}-\left(1-C_{1}-C_{2}\right) y_{3}$.
$\text{D.}$ $C_{1} y_{1}+C_{2} y_{2}+\left(1-C_{1}-C_{2}\right) y_{3}$.
若连续函数 $f(x)$ 满足关系式 $f(x)=\int_{0}^{2 x} f\left(\frac{t}{2}\right) \mathrm{d} t+\ln 2$, 则 $f(x)$ 等于
$\text{A.}$ $\mathrm{e}^{x} \ln 2$.
$\text{B.}$ $\mathrm{e}^{2 x} \ln 2$.
$\text{C.}$ $\mathrm{e}^{x}+\ln 2$.
$\text{D.}$ $\mathrm{e}^{2 x}+\ln 2$.
微分方程 $y^{\prime \prime}-y=e^x+1$ 的一个特解应具有形式为 (以下 $a, b$ 为常数)
$\text{A.}$ $a e^x+b$
$\text{B.}$ $a x e^x+b$
$\text{C.}$ $a e^x+b x$
$\text{D.}$ $a x e^x+b x$
设 $y=f(x)$ 是满足微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-e^{\sin x}=0$ 的解，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ，则 $f(x)$ 在
$\text{A.}$ $x_0$ 的某个邻域内单调增加
$\text{B.}$ $x_0$ 某个邻域内单调减少
$\text{C.}$ $x_0$ 处取得极小值
$\text{D.}$ $x_0$ 处取得极大值
具有特解 $y_1=e^{-x}, y_2=2 x e^{-x}, y_3=3 e^x$ 的 3 阶常系数齐次线性微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=0$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$
设 $y=y(x)$ 是二阶常系数微分方程
$$
y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=e^{3 x}
$$
满足初始条件 $y(0)=y^{\prime}(0)=0$ 的特解, 则当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{y(x)}$ 的极限
$\text{A.}$ 不存在
$\text{B.}$ 等于 1
$\text{C.}$ 等于 2
$\text{D.}$ 等于 3
已知 $y=\frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y^{\prime}=\frac{y}{x}+\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的解，则 $\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$的表达式为
$\text{A.}$ $-\frac{y^2}{x^2}$
$\text{B.}$ $\frac{y^2}{x^2}$
$\text{C.}$ $-\frac{x^2}{y^2}$
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{y^2}$
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=x^2+1+\sin x$ 的特解形式可设为
$\text{A.}$ $y^*=a x^2+b x+c+x(A \sin x+B \cos x)$
$\text{B.}$ $y^*=x\left(a x^2+b x+c+A \sin x+B \cos x\right)$
$\text{C.}$ $y^*=a x^2+b x+c+A \sin x$
$\text{D.}$ $y^*=a x^2+b x+c+B \cos x$
函数 $y=C_1 e^x+C_2 e^{-2 x}+x e^x$ 满足一个微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x e^x$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 e^x$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x e^x$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 e^x$
设非齐次线性微分方程 $y^{\prime}+P(x) y=Q(x)$ 有两个不同的解 $y_1(x), y_2(x), C$ 为任意常数，则该方程的通解是
$\text{A.}$ $C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$
$\text{B.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)-y_2(x)\right]$
$\text{C.}$ $C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$
$\text{D.}$ $y_1(x)+C\left[y_1(x)+y_2(x)\right]$
在下列微分方程中，以
$$
y=C_1 e^x+C_2 \cos 2 x+C_3 \sin 2 x
$$
$\left(C_1, C_2, C_3\right.$ 为任意的常数) 为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$
在下列微分方程中，以 $y=C_1 e^x+C_2 \cos 2 x+C_3 \sin 2 x$ $\left(C_1, C_2, C_3\right.$ 为任意的常数) 为通解的是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}-4 y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=0$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}-4 y=0$
设 $y_1, y_2$ 是一阶线性非齐次微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是该方程的解， $\lambda y_1-\mu y_2$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$
设 $y_1, y_2$ 是一阶线性非齐次微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$的两个特解，若常数 $\lambda, \mu$ 使 $\lambda y_1+\mu y_2$ 是该方程的解， $\lambda y_1-\mu y_2$ 是该方程对应的齐次方程的解，则
$\text{A.}$ $\lambda=\frac{1}{2}, \mu=\frac{1}{2}$.
$\text{B.}$ $\lambda=-\frac{1}{2}, \mu=-\frac{1}{2}$.
$\text{C.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{1}{3}$.
$\text{D.}$ $\lambda=\frac{2}{3}, \mu=\frac{2}{3}$.
微分方程 $y^{\prime \prime}-\lambda^2 y=e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}(\lambda>0)$ 的特解形式为
$\text{A.}$ $a\left(e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}\right)$
$\text{B.}$ $a x\left(e^{\lambda x}+e^{-\lambda x}\right)$
$\text{C.}$ $x\left(a e^{\lambda x}+b e^{-\lambda x}\right)$
$\text{D.}$ $x^2\left(a e^{\lambda x}+b e^{-\lambda x}\right)$
设 $y=\frac{1}{2} e^{2 x}+\left(x-\frac{1}{3}\right) e^x$ 是二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c e^x$ 的一个特解，则
$\text{A.}$ $a=-3, b=2, c=-1$
$\text{B.}$ $a=3, b=2, c=-1$
$\text{C.}$ $a=-3, b=2, c=1$
$\text{D.}$ $a=3, b=2, c=1$
若 $y=\left(1+x^2\right)^2-\sqrt{1+x^2}, y=\left(1+x^2\right)^2+\sqrt{1+x^2}$是微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个解，则 $q(x)=$
$\text{A.}$ $3 x\left(1+x^2\right)$
$\text{B.}$ $-3 x\left(1+x^2\right)$
$\text{C.}$ $\frac{x}{1+x^2}$
$\text{D.}$ $-\frac{x}{1+x^2}$
微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+8 y=e^{2 x}(1+\cos 2 x)$ 的特解可设为 $y^*=(\quad)$
$\text{A.}$ $A e^{2 x}+e^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{B.}$ $A x e^{2 x}+e^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{C.}$ $A e^{2 x}+x e^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{D.}$ $A x e^{2 x}+x e^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c e^x$ 的通解为 $y=\left(C_1+C_2 x\right) e^{-x}+e^x$ ，则 $a, b, c$ 依次为
$\text{A.}$ ${1 , 0 , 1}$
$\text{B.}$ $1,0,2$
$\text{C.}$ $2,1,3$
$\text{D.}$ $2,1,4$
已知微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=c e^x$ 的通解为
$$
y=\left(C_1+C_2 x\right) e^{-x}+e^x,
$$
则 $a, b, c$ 依次为
$\text{A.}$ ${1 , 0 , 1}$
$\text{B.}$ ${1 , 0 , 2}$
$\text{C.}$ $2,1,3$
$\text{D.}$ $2,1,4$
若微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界，则 $($ )
$\text{A.}$ $a < 0, b>0$
$\text{B.}$ $a>0, b>0$
$\text{C.}$ $a=0, b>0$
$\text{D.}$ $a=0, b < 0$
若微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界，则 $($ )
$\text{A.}$ $a < 0, b>0$
$\text{B.}$ $a>0, b>0$
$\text{C.}$ $a=0, b>0$
$\text{D.}$ $a=0, b < 0$
若微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的解在 $(-\infty,+\infty)$ 上有界，则 $($ )
$\text{A.}$ $a < 0, b>0$
$\text{B.}$ $a>0, b>0$
$\text{C.}$ $a=0, b>0$
$\text{D.}$ $a=0, b < 0$
设函数 $y=f(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=1+t^3, \\ y=\mathrm{e}^{t^2}\end{array}\right.$ 确定，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} x\left(f\left(2+\frac{2}{x}\right)-f(2)\right)=(\quad)$
$\text{A.}$ 2 e
$\text{B.}$ $\frac{4}{3} \mathrm{e}$
$\text{C.}$ $\frac{2}{3} \mathrm{e}$
$\text{D.}$ $\frac{\mathrm{e}}{3}$
二、填空题 （共 56 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设函数 $y=y(x)$ 由方程 $\mathrm{e}^{x+y}+\cos (x y)=0$ 确定, 则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$
微分方程 $y^{\prime}+y \tan x=\cos x$ 的通解为 $y=$
微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+2 y=\mathrm{e}^{x}$ 的通解为
微分方程 $y \mathrm{~d} x+\left(x^2-4 x\right) \mathrm{d} y=0$ 的通解为
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=-2 x$ 的通解为
微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+5 y=0$ 的通解为
差分方程 $y_{t+1}-y_t=t 2^t$ 的通解为
差分方程 $2 y_{t+1}+10 y_t-5 t=0$ 的通解是
微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y=e^{2 x}$ 的通解为 $y=$
微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y=e^{2 x}$ 的通解为 $y=$
微分方程 $x y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=0$ 的通解为
设 $y=e^x\left(C_1 \sin x+C_2 \cos x\right)\left(C_1, C_2\right.$ 为任意常数 $)$ 为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为
设函数 $f(x) ， g(x)$ 满足，
$$
f^{\prime}(x)=g(x) ， g^{\prime}(x)=2 e^x-f(x),
$$
且 $f(0)=0 ， g(0)=2$ ，求
$$
I=\int_0^\pi\left[\frac{g(x)}{1+x}-\frac{f(x)}{(1+x)^2}\right] \mathrm{d} x .
$$
已知函数 $y=y(x)$ 是由方程 $e^y+6 x y+x^2-1=0$ 确定，则 $y^{\prime \prime}(0)=$
微分方程 $y y^{\prime \prime}+y^{\prime 2}=0$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=0}=1$ ， $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=\frac{1}{2}$ 的特解是