一、单选题 （共 5 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
$x \rightarrow 0$ 时, 若 $\mathrm{e}^x-\frac{1+a x}{1+b x+c x^2}$ 是比 $x^3$ 高阶的无穷小量, 则
$\text{A.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-\frac{2}{3}, c=\frac{1}{6}$.
$\text{B.}$ $a=\frac{1}{3}, b=-\frac{2}{3}, c=-\frac{1}{6}$.
$\text{C.}$ $a=\frac{2}{3}, b=-\frac{1}{3}, c=-\frac{1}{6}$.
$\text{D.}$ $a=\frac{4}{3}, b=\frac{1}{3}, c=\frac{1}{6}$.
设 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \sin 2 x}-1}{e^{x^2}-1}=1$, 则
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=1$
当 $x \rightarrow x_0$ 时， $\alpha(x), \beta(x)$ 都是无穷小, 则当 $x \rightarrow x_0$ 时 ( ) 不一定是无穷小。
$\text{A.}$ $|\alpha(x)|+|\beta(x)|$
$\text{B.}$ $\alpha^2(x)+\beta^2(x)$
$\text{C.}$ $\ln [1+\alpha(x) \cdot \beta(x)]$
$\text{D.}$ $\frac{\alpha^2(x)}{\beta(x)}$
极限 $\lim _{x \rightarrow a}\left(\frac{\sin x}{\sin a}\right)^{\frac{1}{x-a}}$ 的值是
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $e$
$\text{C.}$ $e^{\cot a}$
$\text{D.}$ $e^{\tan a}$
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\sin x+e^{2 a x}-1}{x} & x \neq 0 \\ a & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则 $a=$.
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ e
$\text{D.}$ -1
二、填空题 （共 2 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
已知 $a$ 为常数, $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+2}{x}-a x+1\right)=1$, 则 $a=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (x+a)-\ln a}{x} \quad(a>0)$ 的值是
三、解答题 （ 共 3 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(b^{\frac{1}{n}}-1\right) \sum_{i=0}^{n-1} b^{\frac{i}{n}} \sin b^{\frac{2 i+1}{2 n}}(b>1)$.
若 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x^4+3}-\left[A+B(x-1)+C(x-1)^2\right]}{(x-1) \sin (x-1)}=0$, 求常数 $A, B, C$ 。
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}$.