一、解答题 （ 共 3 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}$.
求函数 $y=\frac{2 x}{1+x^2}$ 的极值与拐点.
设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续, 在 $(0,2)$ 可导, 且 $2 f(0)=\int_0^2 f(x) d x$ 。 证明:
(1) $\exists \eta \in(0,2)$, 使 $f(\eta)=f(0)$;
(2) 对任意实数 $\lambda, \exists \xi \in(0,2)$, 使 $f^{\prime}(\xi)+\lambda(f(\xi)-f(0))=0$