一、单选题 （共 39 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设函数 $f(x)$ 在区间 $(-1,1)$ 内有定义, 且 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$, 则 ( )
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0, f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{x^2}}=0, f(x)$ 在 $x=0$ 处可导.
$\text{C.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{|x|}}=0$.
$\text{D.}$ 当 $f(x)$ 在 $x=0$ 处可导时, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\sqrt{x^2}}=0$.
设数列 $\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right\}$ 与 $\{\mathrm{y_n}\}$ 满足 $\lim _{\mathrm{n} \rightarrow \infty} x_n y_n=0$, 则下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 发散, 则 $\left\{y_n\right\}$ 必发散
$\text{B.}$ 若 $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 则 $\left\{y_n\right\}$ 必收敛
$\text{C.}$ 若 $\left\{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}\right\}$ 有界,则 $\left\{\mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right\}$ 必为无穷小
$\text{D.}$ 若 $\left\{\frac{1}{\mathrm{x}_{\mathrm{n}}}\right\}$ 有界,则 $\left\{\mathrm{y}_{\mathrm{n}}\right\}$ 必为无穷小
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续, 其导函数图形如图所示, 则 $f(x)$ 的极值点的个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
若函数 $f(x)$ 在原点连续, $F(x)=f(x)|\sin x|$, 则 $f(0)=0$ 是 $F^{\prime}(0)$ 存在的
$\text{A.}$ 充要条件
$\text{B.}$ 充分但非必要条件
$\text{C.}$ 必要但非充分条件
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件
设 $g(t)$ 是正值连续函数, 且 $f(x)=\int_{-a}^a|x-t| g(t) \mathrm{d} t, a>0, x \in[-a, a]$, 关于曲线 $y=f(x)$, 下列说法正确的是
$\text{A.}$ 在 $[-a, 0]$ 上是凹的, 在 $[0, a]$ 上是凸的
$\text{B.}$ 在 $[-a, 0]$ 上是凸的, 在 $[0, a]$ 上是凹的.
$\text{C.}$ 在 $[-a, a]$ 上是凹的.
$\text{D.}$ 在 $[-a, a]$ 上是凸的.
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上有连续导数, 且 $f(0)>0, f^{\prime}(x) \geqslant 0$, 若 $F(x)=f(x)+f^{\prime}(x)$, 则 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ 收敛是 $\int_0^{+\infty} \frac{1}{F(x)} \mathrm{d} x$ 收敛的
$\text{A.}$ 必要非充分条件.
$\text{B.}$ 充分非必要条件.
$\text{C.}$ 充分必要条件.
$\text{D.}$ 既非充分也非必要条件.
已知 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的某邻域内连续, 且 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)-x^k y}{\left(x^2+y^2\right)^2}=1$, 则
$\text{A.}$ $k=1$ 时, $(0,0)$ 是极小值点.
$\text{B.}$ $k=2$ 时, $(0,0)$ 是极大值点.
$\text{C.}$ $k=3$ 时, $(0,0)$ 是极小值点.
$\text{D.}$ $k=4$ 时, $(0,0)$ 是极大值点.
当 $x \rightarrow 0^{+}$时, 与 $\sqrt{x}$ 等价的无穷小量是:
$\text{A.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{B.}$ $\ln \left(\frac{1+x}{1-\sqrt{x}}\right)$
$\text{C.}$ $1-e^{\sqrt{x}}$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
. 函数 $y=1-x^2$ 在区间 $[-1.1]$ 上应用罗尔定理时, 所得到的中值=
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ -1
$\text{D.}$ 2
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}e^{a x} & x \leq 0 \\ b\left(1-x^2\right) & x>0\end{array}\right.$ 处处可导, 那么
$\text{A.}$ $a=b=1$
$\text{B.}$ $a=-2, b=-1$
$\text{C.}$ $a=0, b=1$
$\text{D.}$ $a=1, b=0$
设 $x=a$ 为函数 $y=f(x)$ 的极值点, 则下列论述正确的是
$\text{A.}$ $f(a)=0$
$\text{B.}$ $f'(a)=0$
$\text{C.}$ $f''(a)=0$
$\text{D.}$ 以上都不对
设$f(x)$在[-1,1]上二阶可导，且$f''(x)>0,$$\int_{-1}^1f(x) \mathrm{d} x=2$,则
$\text{A.}$ $f(x) < 0$.
$\text{B.}$ $f(0)>0$.
$\text{C.}$ $f(x)\leq1$.
$\text{D.}$ $f(0)>1$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导, 且 $f^{\prime}(x) < 0$, 则下列结论正确的是
(1) 当 $0 < t < 1$ 时, $\int_0^t f(x) \mathrm{d} x < \int_0^1 t f(x) \mathrm{d} x$.
(2) 当 $0 < t < 1$ 时, $\int_0^t f(x) \mathrm{d} x>\int_0^1 t f(x) \mathrm{d} x$.
(3) 当 $x \geqslant 0$ 时, $\int_0^x x f(t) \mathrm{d} t \geqslant 2 \int_0^x t f(t) \mathrm{d} t$.
(4) 当 $x \geqslant 0$ 时, $\int_0^x x f(t) \mathrm{d} t \leqslant 2 \int_0^x t f(t) \mathrm{d} t$.
$\text{A.}$ (1) (4).
$\text{B.}$ (2) (3).
$\text{C.}$ (2) (4).
$\text{D.}$ (1) (3).
设 $I_1=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+x^2} \mathrm{~d} x, I_2=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \mathrm{~d} x, I_3=\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{(1+x)^2} \mathrm{~d} x$, 则
$\text{A.}$ $I_1>I_2>I_3$.
$\text{B.}$ $I_3>I_2>I_1$.
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$.
$\text{D.}$ $I_2>I_3>I_1$.
设 $f(x)$ 在 $(-1,1]$ 上二阶可导, 且 $f^{\prime \prime}(x)>0, \int_{-1}^1 f(x) \mathrm{d} x=1$, 则
$\text{A.}$ $f(0) \leqslant 0$.
$\text{B.}$ $f(0)>0$.
$\text{C.}$ $f(0) \leqslant \frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $f(0)>\frac{1}{2}$.
$f(x)=\frac{x \ln |x|}{|x-1|} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)(x-2)}}$ 的无穷间断点的个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)$ 可导, $g(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^2 \sin \frac{1}{|x|}+\frac{1}{|x|} \sin ^2 x, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}, F(x)=f[g(x)]\right.$, 则 $F(x)$ 在 $x=0$ 点可导的充分必要条件是
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)=0$.
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0) \neq 0$.
$\text{C.}$ $f(0)=0$.
$\text{D.}$ $f(0) \neq 0$.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1-\mathrm{e}^{\frac{3}{x}}}+\frac{\ln (1-a x)}{|x|}, & x \neq 0 \\ b, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续, 则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1$.
$\text{B.}$ $a=-1, b=1$.
$\text{C.}$ $a=1, b=1$.
$\text{D.}$ $a=-1, b=-1$.
设函数 $f(x)$ 的二阶导函数 $f^{\prime \prime}(x)$ 的图形如右图所示, 则曲线 $y=$ $f(x)$ 的拐点个数为
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
若曲线 $y=\mathrm{e}^x$ 与直线 $y=a x(a>0)$ 有两个交点, 则 $a$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$.
$\text{B.}$ $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, 1\right)$.
$\text{C.}$ $(1, \mathrm{e})$.
$\text{D.}$ $(e,+\infty)$.
关于无穷小量, 哪一个是正确的
$\text{A.}$ 无穷小量是以零为极限的函数
$\text{B.}$ 无穷小量就是数 0
$\text{C.}$ 无穷小量就是一个很小的数
$\text{D.}$ 0 不是无穷小
下列极限正确的是
$\text{A.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=1$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty} x \sin \frac{1}{x}=1$
$\text{C.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin x}{x}=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\sin 2 x}{x}=1$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^2}-1}{\cos x-1}=$
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ $\infty$
$\text{C.}$ 0
$\text{D.}$ $-2$
设 $y=e^{\sin x}$, 则微分 $\mathrm{d} y= $
$\text{A.}$ $e^{\sin x} \mathrm{~d} x$
$\text{B.}$ $e^{\sin x} d \sin x$
$\text{C.}$ $e^{\sin x}$
$\text{D.}$ $e^{\sin x} \cos x$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2}{3} x^3, x \leq 1 \\ x^2, x>1\end{array}\right.$, 则 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的
$\text{A.}$ 左、右导数都存在
$\text{B.}$ 左导数存在, 右导数不存在
$\text{C.}$ 左导数不存在, 右导数存在
$\text{D.}$ 左、右导数都不存在
方程 $\arcsin x=k x$ 在 $x \in[0,1]$ 只有一个解, 那么 $k$ 的取值范围是
$\text{A.}$ $\left(1, \frac{\pi}{2}\right]$
$\text{B.}$ $k \geqslant \frac{\pi}{2}$ 或者 $k < 1$
$\text{C.}$ $k>\frac{\pi}{2}$ 或者 $k \leqslant 1$
$\text{D.}$ $k=1$
下列有关定义在 $(-\infty,+\infty)$ 上的可导函数 $f(x)$ 的说法正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$, 并且 $\exists x_0 \in(0,+\infty)$, 使得 $f\left(x_0\right)>A, \exists x_1 \in(0,+\infty)$ 并且 $x_0 \neq x_1$, 使得 $f\left(x_1\right) < A$, 那么 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内有最大值和最小值。
$\text{B.}$ 若 $f(x)$ 是奇函数, 并且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=A(\neq 0)$, 则 $f(x)$ 的斜渐近线条数一定是偶数。
$\text{C.}$ 若 $f^{\prime}(x)=f(x)+\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ 并且 $f(0)=1$, 则 $f^{\prime \prime}(0)=2$
$\text{D.}$ 令 $g(x)=\left\{\begin{array}{l}\frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}, x \neq x_0 \\ f^{\prime}\left(x_0\right), x=x_0\end{array}\right.$, 其中 $x_0 \in(-\infty,+\infty)$, 则 $g^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在
函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^n+2}{x^n+1}$ 的间断点及类型是
$\text{A.}$ $x=1$ 是第一类间断点, $x=-1$ 是第二类间断点
$\text{B.}$ $x=1$ 是第二类间断点, $x=-1$ 是第一类间断点
$\text{C.}$ $x=\pm 1$ 均是第一类间断点
$\text{D.}$ $x=\pm 1$ 均是第二类间断点
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续, 下列命题错误的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $f(0)=0$.
$\text{B.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)+f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f(0)=0$.
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(-x)}{x}$ 存在, 则 $f^{\prime}(0)$ 存在.
曲线 $y=x \ln \left(\mathrm{e}+\frac{1}{x}\right) \quad(x>0)$ 的渐近线条数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}$, 则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内
$\text{A.}$ 处处可导.
$\text{B.}$ 恰有一个不可导点.
$\text{C.}$ 恰有两个不可导点.
$\text{D.}$ 至少有三个不可导点.
设函数 $f(x)$ 连续, 且 $f^{\prime}(0)>0$, 则存在 $\delta>0$, 使得
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $(0, \delta)$ 内单调增加.
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $(-\delta, 0)$ 内单调减少.
$\text{C.}$ 对任意的 $x \in(0, \delta)$, 有 $f(x)>f(0)$.
$\text{D.}$ 对任意的 $x \in(-\delta, 0)$, 有 $f(x)>f(0)$.
设函数 $f_i(x)(i=1,2)$ 具有二阶连续导数, 且 $f_i^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0(i=1,2)$. 若两条曲线 $y=f_i(x)(i=1,2)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处具有公切线 $y=g(x)$, 且该点 处曲线 $y=f_1(x)$ 的曲率大于曲线 $y=f_2(x)$ 的曲率, 则在 $x_0$ 的某个邻域内 , 有
$\text{A.}$ $f_1(x) \leq f_2(x) \leq g(x)$.
$\text{B.}$ $f_2(x) \leq f_1(x) \leq g(x)$.
$\text{C.}$ $f_1(x) \leq g(x) \leq f_2(x)$.
$\text{D.}$ $f_2(x) \leq g(x) \leq f_1(x)$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a \tan x+b(1-\cos x)}{c \ln (1-2 x)+d\left(1-\mathrm{e}^{-x^2}\right)}=2$, 其中 $a^2+c^2 \neq 0$, 则必有
$\text{A.}$ $b=4 d$.
$\text{B.}$ $b=-4 d$.
$\text{C.}$ $a=4 c$.
$\text{D.}$ $a=-4 c$.
下列命题中正确的是
$\text{A.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_0} g(x) \Rightarrow \exists \delta>0$, 当 $0 < \left|x-x_0\right| < \delta$ 时 $f(x) \geqslant g(x)$.
$\text{B.}$ 若 $\exists \delta>0$ 使得当 $0 < \left|x-x_0\right| < \delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ 且 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A_0, \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)=B_0$ 均 $\exists$, 则 $A_0>B_0$.
$\text{C.}$ 若 $\exists \delta>0$, 当 $0 < \left|x-x_0\right| < \delta$ 时 $f(x)>g(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_0} g(x)$.
$\text{D.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)>\lim _{x \rightarrow x_0} g(x) \Rightarrow \exists \delta>0$, 当 $0 < \left|x-x_0\right| < \delta$ 时有 $f(x)>g(x)$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\cos \left(x e^x\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2} e^{2 x}}}{x^4}=$
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ $-\frac{1}{6}$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{8}$.
$\text{D.}$ $-\frac{1}{12}$.
设 $f(x)=\frac{\left|x^2-1\right|}{x^2-x-2} \arctan \frac{1}{x}$, 则
$\text{A.}$ $f(x)$ 有一个可去间断点, 一个跳跃间断点, 一个第二类间断点
$\text{B.}$ $f(x)$ 有两个可去间断点,一个第二类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 有两个跳跃间断点, 一个第二类间断点
$\text{D.}$ $f(x)$ 有一个跳跃间断点, 两个第二类间断点
设函数 $f(x, y)= \begin{cases}(x y+a|x|+b \sqrt{|y|}) \arctan \frac{1}{|x|+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{cases}$ 则下列说法中,错误的是
$\text{A.}$ 函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的连续性与 $a, b$ 的取值无关.
$\text{B.}$ 函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的偏导数是否存在与 $a, b$ 的取值无关.
$\text{C.}$ 函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的可微性与 $a, b$ 的取值有关.
$\text{D.}$ 若函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处的偏导数存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微.
若 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x e^x\right)-e^{-\frac{x^2}{2} e^{2 x}}}{x^\alpha}=\beta \neq 0$ 则
$\text{A.}$ $\alpha=2, \beta=-1$.
$\text{B.}$ $\alpha=3, \beta=-\frac{1}{6}$.
$\text{C.}$ $\alpha=4, \beta=-\frac{1}{12}$.
$\text{D.}$ $\alpha=5, \beta=-\frac{1}{8}$.