一、解答题 （ 共 30 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $a_n=\left(1-\frac{2 \ln (\ln n)}{n}\right)^n$, 判断级数 $\sum_{n=2}^{\infty} a_n$ 的敛散性.
(I) 求 $y=x \sin x$ 在 $[0, n \pi]$ ( $n$ 为正整数)上与 $x$ 轴所围的面积 $A_n$;
(II) 在(I)的基础上, 求幕级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{A_n}{2^n} x^n$ 的收敛域及和函数.
设正数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足
$$
a_n=\frac{a_{n+1}^2}{n}+a_{n+1},(n=1,2,3, \cdots) .
$$
计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n \cdot \ln n$.
按照 $p$ 的范围来说明级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty}\left[\frac{1}{n^p}-\ln \left(1+\frac{1}{n^p}\right)\right],(p>0)
$$
的收敛性.
讨论级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \int_0^1(-1)^n(1-x) \cdot x^n \mathrm{~d} x$ 的收敛性并计算其和.
设函数 $f_n(x)=\frac{1}{n+1} x-\arctan x$, 其中 $n$ 为正整数. 证明:
(I) 方程 $f_n(x)=0$ 存在唯一正实根 $x_n$;
(II) 当 $p>2$ 时,级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{x_n^p}$ 收敛.
请将函数 $y=x \ln (1+x)$ 展开成 $x$ 的幂级数
求幂级数 $\sum_{n=2} \frac{n}{n^2-1} x^n$ 的收敛域及和函数.
已知正切函数的泰勒展开式为: $\tan x=x+\frac{1}{3} x^3+\frac{2}{15} x^5+o\left(x^5\right)$
计算 $I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left[\tan \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\right]^{\frac{1}{x}}-e^2\left(1+\frac{4}{3} x^2\right)}{x^4}$
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内收敛, 其和函数 $y(x)$ 满足 $x y^{\prime \prime}+(1+x) y^{\prime}+2 y=0$, $y(0)=-1, y^{\prime}(0)=2$.
( I ) 证明: $a_{n+1}=-\frac{(n+2)}{(n+1)^2} a_n, n=0,1, \cdots$;
(II) 求 $y(x)$ 的表达式.
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_0=1, a_1=0, a_{n+1}=2 a_{n-1}-a_n(n=1,2,3, \cdots), S(x)$ 是幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n!} x^n$ 的和函数. 求 $S(x)$ 与 $a_n$ 的表达式.
设 $0 < p \leqslant 1, x_1>0, a>0, b>0, x_{n+1}=a+\frac{b}{x_n^p}, n \in \mathbb{N}$.证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
证明
$$
\sqrt{7}, \sqrt{7-\sqrt{7}}, \sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7}}}, \sqrt{7-\sqrt{7+\sqrt{7-\sqrt{7}}}}
$$
收敛并求其值
(上海交通大学 1991 年竞赛题) 设 $x_1=1, x_2=2$, 且
$x_{n+2}=\sqrt{x_{n+1} \cdot x_n}(n=1,2, \cdots)$
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$
(I) 求 $y=x \sin x$ 在 $[0, n \pi]$ ( $n$ 为正整数)上与 $x$ 轴所围的面积 $A_n$;
(II) 在(I)的基础上, 求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{A_n}{2^n} x^n$ 的收敛域及和函数.
设 $x>0$ ，试讨论级数
$$
1-\frac{1}{2^x}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4^x}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6^x}+\cdots
$$
的敛散性.
设 $f(x)=\frac{x-1}{4-x}$ ，求函数 $f(x)$ 关于 $x-1$ 的幂级数展开式，并求 $f^{(n)}(1)$.
(1) 将函数 $f(x)=x \cos x^2$ 展开成麦克劳林级数；
(2) 求数值级数 $\frac{1}{2}-\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2!}+\frac{1}{10} \cdot \frac{1}{4!}-\frac{1}{14} \cdot \frac{1}{6!}+\cdots$ 的和.
求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n \cdot 4^n}$ 的收敛域与和函数.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{+\infty}(-1)^{n-1} \frac{x^{2 n+1}}{n(2 n+1)}$ 的收敛域与和函数.
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2+1}{n!} x^n$ 的收敛域与和函数，并求级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{n^2+1}{2^n \cdot n!}$ 的和.
设幂级数 $y(x)=\sum_{k=0}^{+\infty} a_k x^k(-\infty < x < +\infty)$ 满足微分方程初值问题:
$$
\left\{\begin{array}{l}
y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}+2 y=0 \\
y(0)=1, y^{\prime}(0)=0
\end{array}\right.
$$
(1) 证明: $a_{k+2}=-\frac{2}{k+2} a_k, k=0,1,2, \cdots$;
(2)求 $y(x)$ 的表达式.
设 $f(x)= \begin{cases}x^2, & -1 \leq x \leq 0, \\ x-1,0 < x \leq 1,\end{cases}$
$$
a_n=\int_{-1}^1 f(x) \cos n \pi x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots .
$$
求函数 $f(x)$ 对应的以周期为 2 的傅里叶级数在 $[-1,1]$ 上的和函数并求 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n a_n$.
设 $S(x)$ 为幂级数
$$
x+\frac{x^3}{1 \cdot 3}+\frac{x^5}{1 \cdot 3 \cdot 5}+\ldots+\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!!}+\cdots
$$
的和函数.
(1) 求 $S(x)$ 的定义域;
(2) 证明 $S(x)$ 满足微分方程初值问题
$$
S^{\prime}(x)-x S(x)=1, \quad S(0)=0 ；
$$
(3) 写出 $S(x)$ 的积分表达式.
求级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{\left(n^2-1\right) 2^n}$ 的和。
设 $f(x)=\sin (a x), x \in[-\pi, \pi)$ （ $a$ 不取整数）, 求其 Fourier 级数及 Fourier 级数的和函数 $S(x)$ 。
设可微函数 $f(x)$ 是方程 $\left(x-2 y^3\right) d x+3 x y^2 d y=0$ 的解, 且 $f(1)=1$ 。
（1）求 $f(x)$ 的表达式;
（2）讨论级数 $\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left(f\left(n^3\right)\right)^{\ln n}}{(\ln n)^n}$ 收敛性。
判断正项级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{3^n(n+1)}{n!}$ 的敛散性。
试将函数 $f(x)=\frac{1}{1+x}$
(1) 展开成 x 的幂级数
(2) 展开成 $\mathrm{x}-1$ 的幂级数.
求幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n}$ 的收敛域及和函数.