解答题 （共 3 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a_n=\left(1-\frac{2 \ln (\ln n)}{n}\right)^n$, 判断级数 $\sum_{n=2}^{\infty} a_n$ 的敛散性.
(I) 求 $y=x \sin x$ 在 $[0, n \pi]$ ( $n$ 为正整数)上与 $x$ 轴所围的面积 $A_n$;
(II) 在(I)的基础上, 求幕级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{A_n}{2^n} x^n$ 的收敛域及和函数.
设正数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足
$$
a_n=\frac{a_{n+1}^2}{n}+a_{n+1},(n=1,2,3, \cdots) .
$$
计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n \cdot \ln n$.