一、填空题 （共 40 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数, 它在区间 $(-1,1]$ 上的定义为
$$
f(x)= \begin{cases}2, & -1 < x \leqslant 0, \\ x^{3}, & 0 < x \leqslant 1,\end{cases}
$$
则 $f(x)$ 的傅里叶 (Fourier) 级数在 $x=1$ 处收敛于
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}-1, & -\pi < x \leqslant 0, \\ 1+x^{2}, & 0 < x \leqslant \pi,\end{array}\right.$ 则其以 $2 \pi$ 为周期的傅里叶级数在点 $x=\pi$ 处收敛于
设函数 $f(x)=\pi x+x^{2}(-\pi < x < \pi)$ 的傅里叶级数展开式为 $\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_{n} \cos n x+b_{n} \sin n x\right)$, 则其中系数 $b_{3}$ 的值为
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}+(-3)^{n}} x^{2 n-1}$ 的收敛半径 $R=$
设函数 $f(x)=x-[x]$, 其中 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数, 令
$$
a_n=\int_{-1}^1 f(x) \cos n \pi x \mathrm{~d} x, b_n=\int_{-1}^1 f(x) \sin n \pi x \mathrm{~d} x, n=0,1,2, \cdots .
$$
令 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n \cos n \pi x+b_n \sin n \pi x\right),-\infty < x < +\infty$, 则 $S(-5)=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{2}+\frac{3}{2^2}+\frac{5}{2^3}+\cdots+\frac{2 n-1}{2^n}\right)=$
设函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续,在开区间 $(0,1)$ 内可导, 且 $f(0)=0, f(1)=1$. 若三个正 数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=1$, 证明: 存在三个互不相等的数 $\xi_i \in(0,1), i=1,2,3$, 使得
$$
\frac{a}{f^{\prime}\left(\xi_1\right)}+\frac{b}{f^{\prime}\left(\xi_2\right)}+\frac{c}{f^{\prime}\left(\xi_3\right)}=1 .
$$
正项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{2^n}=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{2^2}+\cdots+\frac{1}{2^n}+\cdots$ 的和为
设 $f(x)$ 是周期为 $2 \pi$ 的函数, 其傅里叶级数的和函数为 $s(x), f(x)$ 在 $(-\pi, \pi]$ 内的函数表达式为
$f(x)=\left\{\begin{array}{rr}x & 0 \leq x \leq \pi \\ 0 & -\pi < x < 0\end{array}\right.$, 则 $s(9 \pi)=$
设 $f(x)=x^{2021} e^{2020 x} \sin x$ ，则 $f^{(2023)}(0)=$
当 $a$ 满足 ________ 时, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{1-2 a}}$ 条件收敛.
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^n}{n \cdot 4^n}$ 的收敛域为
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{n 3^n} x^n$ 的收敛域为
$\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}\right)=$
设数列 $\left\{a_n\right\}$ 满足 $a_0=1, a_{n+1}=\sin a_n$, 则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n+\frac{1}{n}\right) x^n$ 的收敛域为
$\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{n !+1}{(n+2) !}=$
设函数 $y=y(x)$ 在 $x=0$ 附近由方程 $y+2 y^2+y^3=e^{-x}+x-1$ 所确定，且 $y=a x^2+b x^3+o\left(x^3\right)(x \rightarrow 0)$ ，则 $a+b=$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left(\sqrt[3]{n^2}+\sqrt[3]{2 n^2}+\cdots+\sqrt[3]{n \cdot n^2}\right)=$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} x^{2 n}}{n(2 n-1)}$ 的收敛域为
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{\sqrt{n+1}}$ 的收敛域是
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-2)^{2 n}}{n \cdot 4^n}$ 的收敛域为
级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln 3)^n}{2^n}$ 的和为
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{n^2+n+1}+\frac{2}{n^2+n+2}+\cdots\right. \left.+\frac{n}{n^2+n+n}\right)=$
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$ 的收敛半径为 3 ，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} n a_n(x-1)^{n+1}$ 收敛区间为
设函数 $f(x)=a^x(a>0, a \neq 1)$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2} \ln [f(1) f(2) \cdots f(n)]=$
$\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left[\sqrt{1+\cos \frac{\pi}{n}}+\sqrt{1+\cos \frac{2 \pi}{n}}+\cdots+\sqrt{1+\cos \frac{n \pi}{n}}\right]=$
设 $x^2=\sum_{n=0}^{\infty} a_n \cos n x(-\pi \leq x \leq \pi)$ ，则 $a_2=$
设函数 $y=\frac{1}{2 x+3}$ ，则 $y^{(n)}(0)=$
已知幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x+2)^n$ 在 $x=0$ 处收敛，在 $x=-4$处发散，则幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_n(x-3)^n$ 的收敛域为
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{e^n-(-1)^n}{n^2} x^n$ 的收敛半径为
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left(\sin \frac{1}{n}+2 \sin \frac{2}{n}+\cdots+n \sin \frac{n}{n}\right)=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n^2}\left(\sin \frac{1}{n}+2 \sin \frac{2}{n}+\cdots+n \sin \frac{n}{n}\right)=$ $\sin 1-\cos 1$.
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} n x^{n-1}$ 在区间 $(-1,1)$ 内的和函数 $S(x)=$
幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2 n)!} x^n$ 在 $(0,+\infty)$ 内的和函数 $S(x)=$ $\qquad$ .
设级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{n^n} e^{-n x}$ 的收敛域为 $(a,+\infty)$ ，则 $a=$
设 $f(x)$ 是周期为 2 的周期函数，且 $f(x)=1-x, x \in[0,1]$.若 $f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n \pi x$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{2 n}=$
$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!}=$
已知 $f(x)=1+x$ ，若
$$
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos n x, x \in[0, \pi]
$$
则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2 \sin a_{2 n-1}=$
已知函数 $f(x)=\left(\mathrm{e}^x+1\right) x^2$ ，则 $f^{(5)}(1)=$