解答2试卷具体名称

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。
注意事项:
答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。
考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。
学校:_______________ 姓名:_____________ 班级:_______________ 学号:_______________


一、解答题 ( 共 30 题,满分 80 分,解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 )
过抛物线 $y=x^2$ 上的一点 $M_0\left(x_0, y_0\right)$ 作切线, $\left(0 \leq x_0 \leq 1\right)$, 问 $M_0$ 取在何处时,该切线与直线 $x=1$ 和 $x$ 轴所围成的三角形面积最大? 并求最大值.



设 $F(x, y)=x y+\frac{1}{2} y^2$, 曲线 $c$ 的方程为 $3\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^2=4$, 点 $P$ 为 $c$ 上任一点, 以 $P(x, y), O(0,0), Q(x, 0)$ 三点为顶点的三角形面积记作 $S$, 求面积的最大值.



设 $\varphi(t)$ 具有连续导数, $\varphi(0)=0$. 在全平面内曲线积分
$$
I=\int_L(y-2 x \varphi(x y)) \mathrm{e}^{-x^2-y^2} \mathrm{~d} x+(x-2 y \varphi(x y)) \mathrm{e}^{-x^2-y^2} \mathrm{~d} y
$$

与路径无关.
( I ) 求 $\varphi(t)$;
(II) 设 $L$ 为从 $O(0,0)$ 到 $A(a, a)$ 的一条分段光滑曲线, 计算 $I(a)$;
(III) 求 $I(a)$ 的最值.



$I=\oint_L x d y-2 y d x$, 其中 $L$ 为正向圆周 $x^2+y^2=2$ 在第一象限中的部分.



求椎面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $z^2=2 x$ 所割下部分的曲面面积.



设 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 的外侧, 求$I=\oint_{\Sigma} x^3 d y d z+y^3 d z d x+z^3 d x d y$



求曲面 $\left\{\begin{array}{l}2 z=x^2+y^2 \\ z=\sqrt{x^2+y^2}\end{array}\right.$ 所围区域的体积.



求第二型曲线积分 $\int_L \frac{x \mathrm{~d} y-y \mathrm{~d} x}{2 x^2+y^2}$, 其中 $L$ 为圆周 $x^2+y^2=1$, 方向为逆时针.



求曲面 $x=r \cos \varphi, y=r \sin \varphi, z=r \cot \alpha$ 在点 $M_0\left(r_0, \varphi_0\right)$ 处的切平面方程和法线,其中 $\alpha$ 为某常数.



计算曲面积分, $I=\iint_{\Sigma}(x+y+z) d S$ ,其中 $\Sigma$ 为上半球面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}(a>0)$



计算第二类曲线积分, $I=\int_L e^x \sin y d x+e^x \cos y d y$ ,其中 $L$ 从 $O(0,0)$ 沿摆线 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)$ 到 $A(\pi a, 2 a)(a>0)$



设函数 $y(x)$ 可导, 且 $y^{\prime}(x)>0, y(0)=2$. 若在区间 $[0, x]$ 上以 $y=y(x)$ 为曲边的曲边梯形面积等于该区间上曲线弧长的 2 倍.
(I) 证明 $y^{\prime \prime}(x)-\frac{1}{4} y(x)=0$ ;
(II) 求 $y(x)$.



设 $F(x, y)=x y+\frac{1}{2} y^2$, 曲线 $c$ 的方程为 $3\left(\frac{\partial F}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial F}{\partial y}\right)^2=4$, 点 $P$ 为 $c$ 上任一点, 以 $P(x, y), O(0,0), Q(x, 0)$ 三点为顶点的三角形面积记作 $S$, 求面积的最大值.



求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x+y+z=1 \\ x^2+y^2=1\end{array}\right.$ 在 $y o z$ 面上的投影曲线方程.



求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+2 y^2+z^2=1, \\ x+2 y=1,\end{array}\right.$ 上到坐标原点距离最近的点.



设 $y^2 \mathrm{~d} x+(2 x y+1) \mathrm{d} y$ 是函数 $f(x, y)$ 的全微分, 其中 $f(0,0)=0$, 求 $f(x, y)$, 并计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma} z f(x, y) \mathrm{d} S$, 其中 $\Sigma$ 是椎面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $x^2+(y-1)^2=1$ 所截下的有限部分.



已知 $f(u, v)=\oint_C\left(u x^2+v y^2\right) \mathrm{d} s$ ,其中曲线 $C: x^2$ $+y^2=u^2$ ,试求 $f_{u v}^{\prime \prime}(1,1)$ 的值.



问: 当常数 $a$ 为何值时, 存在可微函数 $u=u(x, y)$, 使得 $\mathrm{d} u=(x-2 y+1) \mathrm{d} x+\left(a x+y^2+3\right) \mathrm{d} y$ ? 若 $u(0,0)=0$,求函数 $u(x, y)$ 的表达式.



设 $f(x)$ 为正值连续函数,证明不等式:
$$
I=\oint_C x f(y) \mathrm{d} y-\frac{y}{f(x)} \mathrm{d} x \geq 2 \pi a^2,
$$

其中 $C$ 是 $(x-a)^2+(y-a)^2=a^2(a>0)$ ,方向取逆时钟方向.



设三元函数 $f(x, y, z)$ 连续, $f(x, y, z) \neq 0$ 且满足 $f(x, y, z) \iiint_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} V=\left(x^2+y^2+z^2\right) \oint_{\Sigma} f(x, y, z) \mathrm{d} S$,其中 $\Omega$ 为球面 $\Sigma: x^2+y^2+z^2=1$ 所围成的闭区域,求 $f(x, y, z)$ 的表达式.



已知 $C$ 为不经过原点的简单光滑闭曲线,且取逆时针方向. 计算曲线积分 $\oint_C \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{a x^2+b y^2}$ ,其中 $a, b$ 为大于零的常数.



设函数 $f(t)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有连续导数, $L$ 为从点 $A\left(-\frac{\pi}{2},-1\right)$ 沿曲线 $y=\sin x$ 到点 $B\left(\frac{\pi}{2}, 1\right)$ ,再沿直线 $y=1$ 到点 $C\left(-\frac{\pi}{2}, 1\right)$ 的有向曲线段,计算曲线积分
$$
\int_L x f\left(x^2+y^2\right) \mathrm{d} x+x^2 \mathrm{~d} y .
$$



设有一边长为 1 的立方体,其一个顶点位于坐标原点,三条棱与坐标轴正方向重合,平面 $x+2 y+3 z=4$ 截立方体所得截面的边界线记作 $\Gamma$ ,计算
$$
I=\oint_{\Gamma}(x-y) \mathrm{d} x+(y-2 z) \mathrm{d} y+(z-3 x) \mathrm{d} z ,
$$

其中 $\Gamma$ 方向为从 $z$ 轴正向往负向看为逆时针方向.



设 $S$ 为旋转抛物面 $z=4-x^2-y^2 , \pi$ 为其在 $M(1,1,2)$ 处的切平面.
(1) 求 $S$ 在 $z \geq 0$ 部分的曲面面积.
(2) 求第一卦限介于 $S$ 与 $\pi$ 之间部分的体积.



设函数 $f(x)$ 具有二阶连续导数,且 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=1$.假设对任意光滑闭曲面 $\boldsymbol{\Sigma}$ ,恒有
$$
\oint_{\Sigma}\left[f^{\prime}(x)+x^2\right] \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(z+1) f(x) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=0 .
$$

试求 $f(x)$ 的表达式.



计算曲面积分
$$
I=\iint_{\Sigma} x(8 y+1) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+2\left(1-y^2\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x-4 y z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \text {, }
$$
曲面,它的法向量与 $y$ 轴正向的夹角恒大于 $\frac{\pi}{2}$.



设过点 $(-1, c, c)$ 的直线 $L$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}c x+y+z=c \text {, } \\ x-c y+c z=-1,\end{array}\right.$ 其中 $c$ 为实数。
(1)求直线 $L$ 的对称式方程;
(2)当 $c$ 连续变化时, $L$ 随之移动而生成曲面 $\Sigma$, 求曲面 $\Sigma$ 与平面 $z=t$ 的交线的方程, 其中 $t$ 为常数;
(3)求由曲面 $\Sigma$, 平面 $z=0$ 和 $z=1$ 所围立体的体积。



求 $\int_{\mathrm{L}}(2 x \sin y+y) d x+\left(x^2 \cos y+2 x\right) d y$, 其中 $L: x^2+y^2=2 a x(a>0)$从 $(0,0)$ 到 $(2 a, 0)$ 的上半圆周。



设 $\sum$ : 平面 $x+3 y+z=1$ 位于第一卦限部分. 试求曲面积分 $\iint_{\Sigma} x d S$



设 $\sum$ 是 $z=x^2+y^2$ 位于平面 $z=4, z=9$ 之间部分且取下侧, 求 $\iint_{\Sigma} z d x d y$



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