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选择2试卷具体名称

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 40 题），每题只有一个选项正确

1. 设曲线积分

\int_{L} [f (x) - e^{x}] \sin y d x - f (x) \cos y d y

与路径无关, 其中

f (x)

具有一阶连续导数, 且

f (0) = 0

, 则

f (x)

等于

A.

\frac{e^{- x} - e^{x}}{2}

B.

\frac{e^{x} - e^{- x}}{2}

C.

\frac{e^{x} + e^{- x}}{2} - 1

D.

1 - \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}

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2. 设函数

f (x, y)

连续, 则累次积分

\int_{0}^{1} d x \int_{x - 1}^{\sqrt{x - x^{2}}} f (x, y) d y

等于

A.

\int_{- 1}^{1} d y \int_{0}^{y + 1} f (x, y) d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} d y \int_{0}^{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{1}{4} - y^{2}}} d x

B.

\int_{- 1}^{1} d y \int_{0}^{y + 1} f (x, y) d x + \int_{0}^{\frac{1}{2}} d y \int_{0}^{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{1}{4} - y^{2}}} d x

C.

\int_{- \frac{π}{2}}^{0} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\cos θ - \sin θ}} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r + \int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{\cos θ} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r

D.

\int_{- \frac{π}{2}}^{0} d θ \int_{0}^{\frac{1}{\cos θ + \sin θ}} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r + \int_{0}^{\frac{π}{2}} d θ \int_{0}^{\sin θ} f (r \cos θ, r \sin θ) r d r

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3. 曲线

f (x) = \int_{x}^{\sqrt{3}} x \sin t^{2} d t

与直线

x = 0, x = \sqrt{3}, y = 0

所围平面图形绕

y

轴旋转一周所形成的旋转体的体积为

A.

\frac{1}{3} π \sin 3 - π \cos 3

B.

- \frac{1}{3} π \sin 3 - π \cos 3

C.

\frac{2}{3} π \sin 3 - 2 π \cos 3

D.

- π \cos 3 - π \sin 3

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4. 设曲面

x y z = a (a > 0)

与球面

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

在某点相切,则

a =

A.

\sqrt{3}

B.

\frac{\sqrt{3}}{3}

C.

\frac{1}{3}

D.

\frac{\sqrt{3}}{9}

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5. 设级数

\sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{n \ln^{p} n}

与积分

\int_{0}^{\frac{π}{4}} \frac{d x}{\sqrt{\cos x} (\sqrt{\sin x})^{p}} (p > 0)

均收玫, 则

A.

1 < p < 2

B.

0 < p ⩽ 2

C.

0 < p < 1

D.

1 ⩽ p ⩽ 2

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6. 设

y_{1} = e^{- x}, y_{2} = 2 x

是常系数齐次线性微分方程

y^{'''} + a y^{''} + b y^{'} + c y = 0

的两个解, 则该方程的通解可为

A.

C_{1} e^{- x} + C_{2} + C_{3} x

B.

C_{1} e^{- x} + C_{2} e^{x} + C_{3} x

C.

C_{1} e^{- x} + C_{2} e^{x} + C_{3}

D.

C_{1} e^{- x} + C_{2} x e^{x} + C_{3}

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7. 设

Σ

为直线

L : \frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 1}{2} = \frac{z}{1}

绕

z

轴旋转一周而成的曲面, 均匀几何体

Ω

是

Σ

位于

z = 0

与

z = 1

之间的部分, 则几何体

Ω

的形心为

A.

(\frac{1}{2}, 0, 0)

B.

(0, 0, \frac{9}{16})

C.

(0, 0, \frac{3}{4})

D.

(\frac{3}{4}, 0, 0)

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8. 若二次曲面的方程

x^{2} + 3 y^{2} + z^{2} + 2 a x y + 2 x z + 2 y z = 2

经过正交变换化为

y_{1}^{2} + 4 y_{2}^{2} = 2

, 则

a =

A.

B.

C.

D.

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9. 设

I_{1} = \iint_{D} (x + y) sgn (x + y) d x d y, I_{2} = \iint_{D} (x - y) sgn (x - y) d x d y

, 其中符号函数

sgn x = {\begin{cases} 1, x > 0, \\ 0, x = 0, \\ - 1, x < 0, \end{cases}

区域

D = {(x, y) ∣ - 1 ⩽ x ⩽ 1, - 1 ⩽ y ⩽ 1}

, 则

A.

I_{1} > I_{2}

B.

I_{1} < I_{2}

C.

I_{1} = I_{2}

D.

I_{1} = - I_{2}

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10. 设有向曲线

L

上任一点

(x, y)

处的切向量为

(1, 2 x)

, 则将曲线积分

\int_{L} P d x + Q d y

化为第一类曲线积分的结果为

A.

\int_{L} (P + 2 x Q) d s

;

B.

\int_{L} (2 x P + Q) d s

;

C.

\int_{L} \frac{P + 2 x Q}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} d s

;

D.

\int_{L} \frac{2 x P + Q}{\sqrt{1 + 4 x^{2}}} d s

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11. 若曲线积分

\int_{L} x^{2} y^{2} d x + a x^{3} y d y

的结果与路径无关, 则

a =

A.

\frac{3}{2}

B.

\frac{2}{3}

C.

\frac{1}{3}

D.

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12. 设

Σ

为曲面

z = 2 - (x^{2} + y^{2})

在

x o y

平面上方的部分, 则

I = \iint_{Σ} z d S = \begin{array}{ll}  \end{array}

A.

\int_{1}^{2 π} d θ \int_{0}^{2 - r^{2}} (2 - r^{2}) \sqrt{1 + 4 r^{2}} r d r

B.

\int_{0}^{2} d θ \int_{1}^{2} (2 - r^{2}) \sqrt{1 + 4 r^{2}} r d r

C.

\int_{0}^{2 π} d θ \int_{- 1}^{\sqrt{2}} (2 - r^{2}) r d r

D.

\int_{0}^{2 π} d θ \int_{0}^{\sqrt{2}} (2 - r^{2}) \sqrt{1 + 4 r^{2}} r d r

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13. 如图, 正方形

{(x, y) | | x | \leq 1 | y ∣, \leq 1}

被其对角线划分为四个区域

D_{k} (k = 1, 2, 3, 4), I_{k} = \iint_{D_{k}} y \cos x d x d y

, 则

max_{1 \leq k \leq 4} {I_{k}} =

A.

I_{1}

B.

I_{2}

C.

I_{3}

D.

I_{4}

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14. 设区域

D

由曲线

y = \sin x, x = \pm \frac{π}{2}, y = 1

围成, 则

\iint_{D} (x y^{5} - 1) d x d y =

A.

π

B.

2

C.

- 2

D.

- π

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15. 设函数

f (u)

连续, 区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 2 y}

, 则

\iint_{D} f (x y) d x d y

等于

A.

\int_{- 1}^{1} d x \int_{- \sqrt{1 - x^{2}}}^{\sqrt{1 - x^{2}}} f (x y) d y

B.

2 \int_{0}^{2} d y \int_{0}^{\sqrt{2 y - y^{2}}} f (x y) d x

C.

\int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{2 \sin θ} f (r^{2} \sin θ \cos θ) d r

D.

\int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{2 \sin θ} f (r^{2} \sin θ \cos θ) r d r

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16.

D

是闭区域

{(x, y) ∣ a^{2} \leq x^{2} + y^{2} \leq b^{2}}

, 则

\iint_{D} \sqrt{x^{2} + y^{2}} d σ =

A.

\frac{π}{2} (b^{3} - a^{3})

B.

\frac{2 π}{3} (b^{3} - a^{3})

C.

\frac{4 π}{3} (b^{3} - a^{3})

D.

\frac{3 π}{2} (b^{3} - a^{3})

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17. 设

f (t) = \iint_{Σ_{t}} (x + t)^{2} d y d z + (y + t)^{2} d z d x + (z + t)^{2} d x d y

, 其中积分曲面

Σ_{t} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = t^{2}, t > 0

, 取外侧, 则

f^{'} (t) =

A.

B.

8 π t^{3}

C.

16 π t^{3}

D.

32 π t^{3}

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18. 方程

x^{2} + b y^{2} + c z^{2} = 1 (b, c

为非零常数

)

所对应的曲面不可能是

A.

椭球面

B.

双叶双曲面

C.

单叶双曲面

D.

锥面

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19. 设

D_{k}

是区域

D = {(x, y) | | x | + | y ∣⩽ e}

在第

k

象限的部分, 记

I_{k} = \iint_{D_{k}} \ln \frac{3 + y}{3 + x} d x d y

,则

max_{1 ⩽ k ⩽ 4} {I_{k}} =

A.

I_{1}

B.

I_{2}

C.

I_{3}

D.

I_{4}

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20. 设

M = \iint_{| x | + | y | ⩽ 1} (x + y)^{3} d σ, N = \iint_{x^{2} + y^{2} ⩽ 1} \cos x^{2} \sin y^{2} d σ, P = \iint_{x^{2} + y^{2} ⩽ 1} (e^{- x^{2} - y^{2}} - 1) d σ

, 则必有

A.

M > N > P

B.

N > M > P

C.

M > P > N

D.

N > P > M

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21. 设

L_{1}, L_{2}, L_{3}

依次表示三条曲线

y = e^{x} - 1, y = x, y = \ln (1 + x)

介于区间

[0, 1]

上的曲弧段,

I_{i} = \int_{L_{i}} y^{2} d s

, 则三者的大小关系为

A.

I_{1} < I_{2} < I_{3}

B.

I_{2} < I_{1} < I_{3}

C.

I_{3} < I_{1} < I_{2}

D.

I_{3} < I_{2} < I_{1}

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22. 曲面

x^{2} - 4 y^{2} + 2 z^{2} = 6

上点

(2, 2, 3)

处的法线方程为

A.

\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 2}{- 4} = \frac{z - 3}{3}

B.

\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{- 4} = \frac{z - 3}{3}

C.

\frac{x - 2}{- 1} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{3}

D.

\frac{x - 2}{1} = \frac{y - 2}{4} = \frac{z - 3}{3}

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23. 设

D

是矩形域:

0 ⩽ x ⩽ \frac{π}{4}, - 1 ⩽ y ⩽ 1

,则

\iint_{D} x \cos (2 x y) d σ =

A.

B.

- \frac{1}{2}

C.

\frac{1}{2}

D.

\frac{1}{4}

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24. 设

L

是以

A (- 1, 0), B (- 3, 2)

及

C (3, 0)

为顶点的三角形域的围界沿

A B C A

方向, 则

\oint_{L} (3 x - y) d x + (x - 2 y) d y =

A.

-8

B.

C.

D.

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25. 设点

O, A, B

的坐标分别为

(0, 0), (1, 0), (0, 1)

, 点

C

为区域

D = {(x, y) ∣ 0 < x < 1, y > 0}

内一点, 则下列区域中, 四边形

A O B C

的形心不可能在其中出现的是

A.

{(x, y) | 0 < x < \frac{1}{3}, 0 < y < 1}

B.

{(x, y) | 0 < x < \frac{1}{3}, 1 < y < 2}

C.

{(x, y) | \frac{1}{3} < x < \frac{2}{3}, 0 < y < 1}

D.

{(x, y) | \frac{2}{3} < x < 1, 0 < y < 1}

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26. 椭圆抛物面

z = x^{2} + \frac{1}{4} y^{2} + 3

到平面

2 x - y + z = 0

最近的点是?

A.

(- 1, 2, 5)

B.

(1, 2, 5)

C.

(1, - 2, 5)

D.

(- 1, 2, - 5)

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27. 函数

z = x e^{2 y}

在点

P (1, 0)

处沿从

P (1, 0)

到

Q (2, - 1)

的方向导数是?

A.

\frac{\sqrt{2}}{5}

B.

\frac{\sqrt{2}}{3}

C.

\frac{\sqrt{2}}{2}

D.

- \frac{\sqrt{2}}{2}

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28. 过点

(p, \sin p)

作曲线

y = \sin x

的切线, 该曲线 (对应于

0 ⩽ x ⩽ p

的部分) 与切线及

y

轨所闹成平面图形的面积为

S_{1}

, 与直线

x = p

及

x

轴所围成平面图形的面积为

S_{2}

, 则

lim_{p - 0} \frac{S_{2}}{S_{1} + S_{2}} =

A.

\frac{1}{3}

B.

\frac{1}{2}

C.

\frac{2}{3}

D.

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29. 设

{\vec{T}}^{\circ} = (\cos α, \cos β)

是简单封闭曲线

L

上点

(x, y)

处指向逆时钟方向的单位切向量，则该点处指向曲线外侧的单位法向量

{\vec{n}}^{\circ} =

A.

(- \cos α, - \cos β)

B.

(\cos β, \cos α)

C.

(\cos β, - \cos α)

D.

(- \cos β, \cos α)

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30. 向量场

\vec{u} (x, y, z) = x y^{2} \vec{i} + y e^{z} \vec{j} + x \vec{k}

在点

P (1, 1, 0)

处的旋度为

A.

(1, 1, 2)

B.

(- 1, - 1, - 2)

C.

2

D.

- 2

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31. 已知向量场

F (x, y) = (P (x, y), Q (x, y))

，如题图所示，

L

为圆周

x^{2} + y^{2} = 1

，且取逆时针方向，则曲线积分

\oint_{L} P (x, y) d x + Q (x, y) d y > 0

所对应的向量场是

A.

B.

C.

D.

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32. 下列正向闭曲线中, 使曲线积分

\oint_{I} \frac{y d x - x d y}{x^{2} + x y + y^{2}} = 0

的曲线是

A.

L : x^{2} + y^{2} = 1

B.

L : x^{2} + x y + y^{2} = 1

C.

L : (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} = 1

D.

L : x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1

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33. 设在区间

[a, b]

上

f (x) > 0, f^{'} (x) < 0, f^{''} (x) > 0

，令

\begin{aligned} S_{1} & = \int_{a}^{b} f (x) d x, S_{2} = f (b) (b - a) \\ S_{3} & = \frac{1}{2} [f (a) + f (b)] (b - a) \end{aligned}

则

A.

S_{1} < S_{2} < S_{3}

B.

S_{2} < S_{1} < S_{3}

C.

S_{3} < S_{1} < S_{2}

D.

S_{2} < S_{3} < S_{1}

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34. 设在区间

[a, b]

上

f (x) > 0, f^{'} (x) < 0, f^{''} (x) > 0

，令

\begin{aligned} S_{1} = \int_{a}^{b} f (x) d x, S_{2} = f (b) (b - a), \\ S_{3} = \frac{1}{2} [f (a) + f (b)] (b - a) \end{aligned}

则

A.

S_{1} < S_{2} < S_{3}

B.

S_{2} < S_{1} < S_{3}

C.

S_{3} < S_{1} < S_{2}

D.

S_{2} < S_{3} < S_{1}

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35. 设

f (x, y)

连续，且

f (x, y) = x y + \iint_{D} f (u, v) d u d v

，其中

D

是由

y = 0

y = x^{2}, x = 1

所围成的区域，则

f (x, y)

等于

A.

x y

B.

2 x y

C.

x y + \frac{1}{8}

D.

x y + 1

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36. 设

S : x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} (z \geq 0), S_{1}

为

S

在第一卦限中的部分，则有

A.

\iint_{S} x d S = 4 \iint_{S_{1}} x d S

B.

\iint_{S} y d S = 4 \iint_{S_{1}} y d S

C.

\iint_{S} z d S = 4 \iint_{S_{1}} z d S

D.

\iint_{S} x y z d S = 4 \iint_{S_{1}} x y z d S

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37. 设函数

f (u)

连续，区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 2 y}

, 则

\iint_{D} f (x y) d x d y

等于

A.

\int_{- 1}^{1} d x \int_{- \sqrt{1 - x^{2}}}^{\sqrt{1 - x^{2}}} f (x y) d y

B.

2 \int_{0}^{2} d y \int_{0}^{\sqrt{2 y - y^{2}}} f (x y) d x

C.

\int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{2 \sin θ} f (r^{2} \sin θ \cos θ) d r

D.

\int_{0}^{π} d θ \int_{0}^{2 \sin θ} f (r^{2} \sin θ \cos θ) r d r

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38. 设区域

D

由曲线

y = \sin x, x = \pm \frac{π}{2}, y = 1

围成，则

\iint_{D} (x^{5} y - 1) d x d y =

A.

π

B.

C.

-2

D.

π

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39. 设

L_{1} : x^{2} + y^{2} = 1 ， L_{2} : x^{2} + y^{2} = 2

，

L_{3} : x^{2} + 2 y^{2} = 2, L_{4} : 2 x^{2} + y^{2} = 2

为四条逆时针方向的平面曲线，记

I_{i} = \oint_{L_{i}} (y + \frac{y^{3}}{6}) d x + (2 x - \frac{x^{3}}{3}) d y (i = 1, 2, 3, 4) ，

则

max {I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}} =

A.

I_{1}

B.

I_{2}

C.

I_{3}

D.

I_{4}

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40.

\int_{- 1}^{0} d x \int_{- x}^{2 - x^{2}} (1 - x y) d y + \int_{0}^{1} d x \int_{x}^{2 - x^{2}} (1 - x y) d y =

A.

\frac{5}{3}

B.

\frac{5}{6}

C.

\frac{7}{3}

D.

\frac{7}{6}

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