共创考研辅导中心全国硕士研究生入学统一考试模拟试卷 -Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

设 $f(t)=\iint_{\Sigma_t}(x+t)^2 d y d z+(y+t)^2 d z d x+(z+t)^2 d x d y$, 其中积分曲面 $\Sigma_t: x^2+y^2+z^2=t^2, t>0$, 取外侧, 则 $f^{\prime}(t)=$

$ \text{A.}$ 0 $ \text{B.}$ $8 \pi t^3$. $ \text{C.}$ $16 \pi t^3$. $ \text{D.}$ $32 \pi t^3$.

0 人点赞纠错

13 次查看我来讲解

答案：

解析：

记 $\Sigma_t$ 围成的立体为 $\Omega_t$. 由高斯公式,
$$
f(t)=\iiint_{\Omega_t}[2(x+t)+2(y+t)+2(z+t)] d V=6 t \cdot \frac{4}{3} \pi t^3+2 \iiint_{\Omega_t}(x+y+z) d V=8 \pi t^4,
$$
所以 $f^{\prime}(t)=32 \pi t^3$.

关闭页面下载Word格式