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函数与极限解答题4（37）

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、解答题（共 37 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} (1 - \sin 2 t)^{\frac{1}{t}} d t}{(e^{x} - 1) \ln (1 + x)}

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2. 计算广义积分

\int_{0}^{1} \frac{x d x}{(3 + x^{2}) \sqrt{1 - x^{2}}}

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3. 设

lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 1

, 且

f^{''} (x) > 0

, 证明当

x \neq 0

时,

f (x) > x

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4. 已知

f (x)

在

[0, a]

上有连续的导函数, 且

| f^{'} (x) | \leq M

, 证明

| \int_{0}^{a} f (x) d x - a f (a) | \leq \frac{M a^{2}}{2} .

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5. 设

y = \ln (x + \sqrt{1 + x^{2}}) + \arctan \frac{1}{x} + e^{2}

, 求

\frac{d y}{d x}

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6. 证明

x > 0

时,

\ln (1 + x) > x - \frac{1}{2} x^{2}

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7. 设

f (x)

在

[0, 1]

上可导，且

f (1) = \int_{0}^{1} x f (x) d x

，证明在

(0, 1)

内至少存在一点

ξ

使

ξ f^{'} (ξ) + f (ξ) = 0

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8. 设函数

f (x)

具有连续的导数, 且

f (1) = 0, f^{'} (1) = 2

, 求

lim_{x \to 0} \frac{f (\sin^{2} x + \cos x)}{e^{x^{2}} - \cos x}

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9. 设函数

f (x)

在

x = 0

处二阶可导, 且

f (0) = f^{'} (0) = 0, f^{''} (0) = 1

. 设曲线

y = f (x)

在点

(x, f (x))

处的切线在

x

轴上的截距为

u (x)

, 计算极限

lim_{x \to 0} \frac{f (u (x))}{f (x)}

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10. 设

y = y (x)

是由方程

y^{3} + x y + x^{2} - 2 x + 1 = 0

在点

(1, 0)

的某邻域内确定的可微函数,

lim_{x \to 1} \frac{\int_{1}^{x} y (t) d t}{(x - 1)^{3}} .

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11. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + x \sin x} - 1}{e^{x^{2}} - 1}

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12. 求极限

lim_{x \to + \infty} {(\frac{3 + x}{6 + x})}^{\frac{x + 1}{2}}

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13. 求极限

lim_{x \to 0} (\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{x \tan x})

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14. 设函数

y = (2 - x)^{2} + \ln (e^{x} + \sqrt{1 + e^{2 x}})

, 求

\frac{d y}{d x}

与

d y

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15. 设

y = f (x)

是由方程

\arctan \frac{x}{y} = \ln \sqrt{x^{2} + y^{2}}

确定的隐函数, 求

\frac{d^{2} y}{d x^{2}}

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16. 求函数

y = (x - \frac{5}{2}) \sqrt{x^{2}}

的凹凸区间与拐点

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17. 设函数

f (x)

在

[0, 3]

上连续, 在

(0, 3)

内可导, 且

f (0) + f (1) + f (2) = 3, f (3) = 1

. 试证: 必存在一点

ξ \in (0, 3)

, 使得

f^{'} (ξ) = 0

。

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18. 设

f (x), g (x)

在

x = 0

的某邻域内连续,

f (0) = g (0) \neq 0

, 求

lim_{x \to 0} \frac{\int_{0}^{x^{2}} f (\sqrt{x^{2} - t}) d t}{\int_{0}^{1} x^{2} g (x t) d t}

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19. 求极限

lim_{x \to + \infty} \frac{\frac{1}{x^{3}} \int_{1}^{x} [(1 + t^{2}) \sin \frac{1}{t} - \cos t] d t}{1 - e^{\frac{1}{x}}}

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20. 设

lim_{x \to 0} \frac{(1 + a x + b x^{2}) e^{x} - c}{x - \sin x} = d

, 求常数

a, b, c, d

的值.

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21. 设位于第一象限的平面曲线

L : y = y (x)

过点

A (0, \sqrt{2} - 1)

, 且

y^{'} (x) > 0

, 又

M (x, y)

为曲线

L

上的任意一点, 且弧段

A M

的长度与点

M

处

L

的切线在

x

轴上的截距之差为

\sqrt{2} - 1

.
( I ) 求

y = y (x)

所满足的微分方程和初始条件;
(II) 求曲线

L

的表示式.

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22. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{\sin (\sin x) - \tan (\tan x)}{\sin x - \tan x}

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23. 计算

lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} (\frac{1}{\sqrt{4 n^{2} + 1}} + \frac{2}{\sqrt{4 n^{2} + 2}} + \dots + \frac{n}{\sqrt{4 n^{2} + n}})

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24. 设函数

f (x)

在点

x = 2

处可导，

f (2) = f^{'} (2) = \frac{1}{2}

，求极限

lim_{n \to + \infty} (\frac{f (\frac{2 n + 1}{n})}{f (2)}) \frac{1}{\ln (2 + \frac{1}{3 n}) - \ln 2}

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25. 当

x > 0

时，画出

y = x^{x}

的大致图像。

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26. 求极限

lim_{n \to \infty} {(\int_{1}^{2} \sqrt[n]{1 + x} d x)}^{n}

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27. 求极限

lim_{n \to \infty} {(\int_{1}^{2} \sqrt[n]{1 + x} d x)}^{n}

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28. 求函数

f (x, y) = e^{y - 1} + x \ln x - x y - y e^{1 - y}

的最小值.

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29. 设函数

f (x)

在

[a, b]

上连续.
(1) 证明存在

ξ \in (a, b)

, 使得

\int_{a}^{ε} f (x) d x = (b - ξ) f (ξ)

;
(2) 如果

f (x)

在

(a, b)

内取得最大值和最小值, 证明存在

η \in (a, b)

, 使得

\int_{a}^{η} f (x) d x = (η - a) f (η) .

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30. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{e^{x} - \sqrt[3]{1 + 3 x}}{\ln (1 + x^{2})}

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31. 讨论

f (x, y) = {\begin{cases} (x^{2} + y^{2}) \sin \frac{1}{x^{2} + y^{2}}, (x, y) \neq (0, 0) \\ 0, (x, y) = (0, 0) \end{cases}

在点

(0, 0)

的连续性，偏导数存在性以及可微性.

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32. 已知

f (x)

在

[0, 1]

上连续，且

f (1) = 0

, 则

{x^{n}}

与

{x^{n} f (x)}

在

[0, 1]

上是否一致收敛，说明你的理由.

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33.

lim_{n \to \infty} \frac{n^{n + 1}}{(n + 1)^{n}} \sin \frac{1}{n}

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34.

lim_{n \to \infty} {(\frac{\sqrt[n]{a} + \sqrt[n]{b} + \sqrt[n]{c}}{3})}^{n}

其中

a > 0, b > 0, c > 0

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35.

lim_{x \to 0} \frac{(1 - \cos x) [x - \ln (1 + \tan x)]}{\sin^{4} x}

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36.

lim_{x \to 0} \frac{e - e^{\cos x}}{\sqrt[3]{1 + x^{2}} - 1}

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37. 设

f (x)

二阶可导,

f (0) = 0, f^{'} (0) = 1, f^{''} (0) = 2

. 求极限

lim_{x \to 0} \frac{f (x) - x}{x^{2}}

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