一、解答题 （ 共 37 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2}(1-\sin 2 t)^{\frac{1}{t}} d t}{\left(e^x-1\right) \ln (1+x)}$.
计算广义积分 $\int_0^1 \frac{x d x}{\left(3+x^2\right) \sqrt{1-x^2}}$
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$, 且 $f^{\prime \prime}(x)>0$, 证明当 $x \neq 0$ 时, $f(x)>x$.
已知 $f(x)$ 在 $[0, a]$ 上有连续的导函数, 且 $\left|f^{\prime}(x)\right| \leq M$, 证明
$$
\left|\int_0^a f(x) d x-a f(a)\right| \leq \frac{M a^2}{2} .
$$
设 $y=\ln \left(x+\sqrt{1+x^2}\right)+\arctan \frac{1}{x}+e^2$, 求 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$.
证明 $x>0$ 时, $\ln (1+x)>x-\frac{1}{2} x^2$.
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上可导，且 $f(1)=\int_0^1 x f(x) \mathrm{d} x$ ，证明在 $(0,1)$ 内至少存在一点 $\xi$ 使 $\xi f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0$
设函数 $f(x)$ 具有连续的导数, 且 $f(1)=0, f^{\prime}(1)=2$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(\sin ^2 x+\cos x\right)}{\mathrm{e}^{x^2}-\cos x}$
设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处二阶可导, 且 $f(0)=f^{\prime}(0)=0, f^{\prime \prime}(0)=1$. 设 曲线 $y=f(x)$ 在点 $(x, f(x))$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $u(x)$, 计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(u(x))}{f(x)}$.
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^3+x y+x^2-2 x+1=0$ 在点 $(1,0)$ 的某邻域内确定的可微函数,
$$
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x y(t) \mathrm{d} t}{(x-1)^3} .
$$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x \sin x}-1}{e^{x^2}-1}$
求极限 $ \lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{3+x}{6+x}\right)^{\frac{x+1}{2}}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x \tan x}\right)$
设函数 $y=(2-x)^2+\ln \left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right)$, 求 $\frac{d y}{d x}$ 与 $d y$.
设$ y=f(x) $是由方程 $ \arctan \frac{x}{y}=\ln \sqrt{x^2+y^2} $ 确定的隐函数, 求 $\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2} $
求函数 $ y=\left(x-\frac{5}{2}\right) \sqrt{x^2} $ 的凹凸区间与拐点
设函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续, 在 $(0,3)$ 内可导, 且 $f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1$. 试证: 必存在一点 $\xi \in(0,3)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。
设 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续, $f(0)=g(0) \neq 0$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} f\left(\sqrt{x^2-t}\right) \mathrm{d} t}{\int_0^1 x^2 g(x t) \mathrm{d} t}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\frac{1}{x^3} \int_1^x\left[\left(1+t^2\right) \sin \frac{1}{t}-\cos t\right] \mathrm{d} t}{1-\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}$.
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(1+a x+b x^2\right) \mathrm{e}^x-c}{x-\sin x}=d$, 求常数 $a, b, c, d$ 的值.
设位于第一象限的平面曲线 $L: y=y(x)$ 过点 $A(0, \sqrt{2}-1)$, 且 $y^{\prime}(x)>0$, 又 $M(x, y)$ 为曲线 $L$ 上的任意一点, 且弧段 $A M$ 的长度与点 $M$ 处 $L$ 的切线在 $x$ 轴上的截距之差为 $\sqrt{2}-1$.
( I ) 求 $y=y(x)$ 所满足的微分方程和初始条件;
(II) 求曲线 $L$ 的表示式.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin (\sin x)-\tan (\tan x)}{\sin x-\tan x}$.
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{\sqrt{4 n^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{4 n^2+2}}+\cdots+\frac{n}{\sqrt{4 n^2+n}}\right)$.
设函数 $f(x)$ 在点 $x=2$ 处可导， $f(2)=f^{\prime}(2)=\frac{1}{2}$ ，求极限
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\frac{f\left(\frac{2 n+1}{n}\right)}{f(2)}\right) \dfrac{1}{\ln \left(2+\frac{1}{3 n}\right)-\ln 2}
$$
当$ x>0 $时，画出 $ y=x^x$的大致图像。
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_1^2 \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^n$.
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_1^2 \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^n$.
求函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{y-1}+x \ln x-x y-y \mathrm{e}^{1-y}$ 的最小值.
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续.
(1) 证明存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $\int_a^{\varepsilon} f(x) \mathrm{d} x=(b-\xi) f(\xi)$;
(2) 如果 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内取得最大值和最小值, 证明存在 $\eta \in(a, b)$, 使得
$$
\int_a^\eta f(x) \mathrm{d} x=(\eta-a) f(\eta) .
$$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-\sqrt[3]{1+3 x}}{\ln \left(1+x^2\right)}$.
讨论 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$
在点 $(0,0)$ 的连续性，偏导数存在性以及可微性.
已知 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，且 $f(1)=0$, 则 $\left\{x^n\right\}$ 与 $\left\{x^n f(x)\right\}$ 在 $[0,1]$ 上是否一致收敛，说明你的理由.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^{n+1}}{(n+1)^n} \sin \frac{1}{n}$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{\sqrt[n]{a}+\sqrt[n]{b}+\sqrt[n]{c}}{3}\right)^n$ 其中 $a>0, b>0, c>0$ .
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1-\cos x)[x-\ln (1+\tan x)]}{\sin ^4 x}$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}-\mathrm{e}^{\cos x}}{\sqrt[3]{1+x^2}-1}$
设 $f(x)$ 二阶可导, $f(0)=0, f^{\prime}(0)=1, f^{\prime \prime}(0)=2$. 求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-x}{x^2}$.