2023年武汉理工大学数学分析考研真题及参考解答-Kmath科数- 中考、高考、考验数学题库

讨论 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2},(x, y) \neq(0,0) \\ 0,(x, y)=(0,0)\end{array}\right.$
在点 $(0,0)$ 的连续性，偏导数存在性以及可微性.

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答案：

1) 注意到不等式:
$$
\left|\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2}\right| \leq x^2+y^2 \rightarrow 0,(x, y) \rightarrow(0,0) .
$$
所以 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=f(0,0)=0$ ；故 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续.

2) 由偏导数定义计算公式可知:
$$
\begin{aligned}
f_x^{\prime}(0,0) & =\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x^2}=0 \\
f_y^{\prime}(0,0) & =\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}=\lim _{y \rightarrow 0} y \sin \frac{1}{y^2}=0
\end{aligned}
$$
所以 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 的偏导数存在性且均为 0 .

3) 由可微的定义，计算下列极限:
$$
\begin{aligned}
& \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left|\frac{f(x, y)-f(0,0)-f_x^{\prime}(0,0) x-f_y^{\prime}(0,0) y}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \\
= & \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left|\frac{\left(x^2+y^2\right) \sin \frac{1}{x^2+y^2}}{\sqrt{x^2+y^2}}\right| \\
= & \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left|\sqrt{x^2+y^2} \sin \frac{1}{x^2+y^2}\right| \leq \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}\left|\sqrt{x^2+y^2}\right|=0
\end{aligned}
$$
所以 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微.

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