设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续.
(1) 证明存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $\int_a^{\varepsilon} f(x) \mathrm{d} x=(b-\xi) f(\xi)$;
(2) 如果 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内取得最大值和最小值, 证明存在 $\eta \in(a, b)$, 使得
$$
\int_a^\eta f(x) \mathrm{d} x=(\eta-a) f(\eta) .
$$
【答案】 【解】(1) 令 $F(x)=(b-x) \int_a^x f(t) \mathrm{d} t, x \in[a, b]$, 则 $F(x)$ 在 $[a, b]$ 可导, 且 $F(a)=$ $F(b)=0$, 由罗尔中值定理知, 存在 $\xi \in(a, b)$, 使得 $F^{\prime}(\xi)=(b-\xi) f(\xi)-\int_a^{\xi} f(t) \mathrm{d} t=0$, 即 $\int_a^{\xi} f(x) \mathrm{d} x=(b-\xi) f(\xi)$.
(2) 设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的最大值为 $M$ 、最小值为 $m$, 故存在 $x_M, x_m \in(a, b)$, 使得 $f\left(x_M\right)=M, f\left(x_m\right)=m$.
如果 $M=m$, 则 $f(x) \equiv$ 常数, 故对任意的 $\eta \in(a, b)$, 均有 $\int_a^\eta f(x) \mathrm{d} x=(\eta-a) f(\eta)$. 如果 $M > m$, 则 $x_M \neq x_m$. 令 $G(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t-(x-a) f(x), x \in[a, b]$, 则
$$
\begin{aligned}
G\left(x_M\right) & =\int_a^{x_M} f(t) \mathrm{d} t-\left(x_M-a\right) f\left(x_M\right) \leqslant \int_a^{x_M} M \mathrm{~d} t-\left(x_M-a\right) M=0, \\
G\left(x_m\right) & =\int_a^{x_m} f(t) \mathrm{d} t-\left(x_m-a\right) f\left(x_m\right) \geqslant \int_a^{x_m} m \mathrm{~d} t-\left(x_m-a\right) m=0,
\end{aligned}
$$
由介值定理, 存在 $\eta \in\left[x_M, x_m\right]$ 或 $\left[x_m, x_M\right] \subset(a, b)$, 使得 $G(\eta)=0$, 即 $\int_a^\eta f(x) \mathrm{d} x=(\eta-$
a) $f(\eta)$.


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