题号:2302    题型:解答题    来源:2019年华中科技大学《微积分(一)上》期末模拟考试
计算广义积分 $\int_0^1 \frac{x d x}{\left(3+x^2\right) \sqrt{1-x^2}}$
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答案:
令 $t=\sqrt{1-x^2}$, 即 $x^2=1-t^2$,
$$
\begin{aligned}
& \int_0^1 \frac{x d x}{\left(3+x^2\right) \sqrt{1-x^2}}=\int_0^1 \frac{d t}{4-t^2} \\
=& \frac{1}{4} \int_0^1\left(\frac{1}{t+2}-\frac{1}{t-2}\right) d t \\
=\left.\frac{1}{4} \ln \left|\frac{t+2}{t-2}\right|\right|_0 ^1=& \frac{1}{4} \ln 3
\end{aligned}
$$
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