题号:2913    题型:解答题    来源:2023大一高数导数与微分期末考试
设函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续, 在 $(0,3)$ 内可导, 且 $f(0)+f(1)+f(2)=3, f(3)=1$. 试证: 必存在一点 $\xi \in(0,3)$, 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$ 。
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答案:
证明: 因为函数 $f(x)$ 在 $[0,3]$ 上连续, 从而函数 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续,
故在 $[0,2]$ 上有最大值和最小值, 分别设为 $m, M$,
于是 $m \leq \frac{f(0)+f(1)+f(2)}{3} \leq M, $
从而由介值定理可得, 至少存在一点 $c \in[0.2]$,
使得 $f(c)=\frac{f(0)+f(1)+f(2)}{3}=1, $
可验证 $f(x)$ 在 $[c, 3]$ 上满足罗尔定理的条件,
故存在 $\xi \in[c .3] \subset[0,3]$, 使得 $f(\xi)=0 . $
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