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解答2试卷具体名称

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、解答题（共 40 题），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤

1. 设

S

为椭球面

\frac{x^{2}}{2} + \frac{y^{2}}{2} + z^{2} = 1

的上半部分，点

P (x, y, z) \in S ， π

为

S

在点

P

处的切平面，

ρ (x, y, z)

为点

O (0, 0, 0)

到平面

π

的距离，求

\iint_{S} \frac{z d S}{ρ (x, y, z)}

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2. 计算二重积分

\iint_{D} y d x d y

，其中

D

是由直线

x = - 2

y = 0, y = 2

以及曲线

x = - \sqrt{2 y - y^{2}}

所围成的平面区域.

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3. 设

f (x, y) = {\begin{array}{lc} x^{2} y, 1 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq x \\ 0, & 其他 \end{array}

，求

\iint_{D} f (x, y) d x d y

，其中

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \geq 2 x}

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4. 计算二重积分

\iint_{D} \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{\sqrt{4 a^{2} - x^{2} - y^{2}}} d σ

，其中

D

是由曲线

y = - a + \sqrt{a^{2} - x^{2}} (a > 0)

和直线

y = - x

围成区域.

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5. 求二重积分

I = \iint_{D} y [1 + x e^{\frac{1}{2} (x^{2} + y^{2})}] d x d y

的值, 其中

D

是由直线

y = x, y = - 1

及

x = 1

围成的平面区域.

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6. 计算二重积分

\iint_{D} e^{max {x^{2}, y^{2}}} d x d y

，其中

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1}

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7. 设闭区域

D : x^{2} + y^{2} \leq y, x \geq 0 . f (x, y)

为

D

上的连
续函数。

f (x, y) = \sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} - \frac{8}{π} \iint_{D} f (u, v) d u d v .

求

f (x, y)

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8. 设函数

f (x)

连续且恒大于零，

\begin{aligned} F (t) & = \frac{∭_{Ω (t)} f (x^{2} + y^{2} + z^{2}) d v}{\iint_{D (t)} f (x^{2} + y^{2}) d σ} \\ G (t) & = \frac{\iint_{D (t)} f (x^{2} + y^{2}) d σ}{\int_{- t}^{t} f (x^{2}) d x} \end{aligned}

其中

Ω (t) = {(x, y, z) ∣ x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq t^{2}}

D (t) = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq t^{2}}

（1）讨论

F (t)

在区间

(0, + \infty)

内的单调性.
（2）证明当

t > 0

时，

F (t) > \frac{2}{π} G (t)

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9. 计算二重积分

I = \iint_{D} e^{- (x^{2} + y^{2} - π)} \sin (x^{2} + y^{2}) d x d y

.其中积分区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq π}

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10. 设

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq \sqrt{2}, x \geq 0, y \geq 0}

，

[1 + x^{2} + y^{2}]

表示不超过

1 + x^{2} + y^{2}

的最大整数. 计算二重积分

\iint_{D} x y [1 + x^{2} + y^{2}] d x d y

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11. 计算二重积分

\iint_{D} | x^{2} + y^{2} - 1 | d σ

，其中

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1}

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12. 设区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1, x \geq 0}

，计算二重积分

I = \iint_{D} \frac{1 + x y}{1 + x^{2} + y^{2}} d x d y

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13. 设区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1, x \geq 0}

，计算二重积分

I = \iint_{D} \frac{1 + x y}{1 + x^{2} + y^{2}} d x d y

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14. 计算二重积分

\iint_{D} \sqrt{y^{2} - x y} d x d y

，其中

D

是由直线

y = x, y = 1, x = 0

所围成的平面区域.

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15. 设二元函数

f (x, y) = {\begin{cases} x^{2}, & | x | + | y | \leq 1 \\ \frac{1}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}, & 1 < | x | + | y | \leq 2 \end{cases}

计算二重积分

\iint_{D} f (x, y) d σ

，其中

D = {(x, y) | | x | + | y ∣\leq 2}

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16. 计算

\iint_{D} max {x y, 1} d x d y

，其中

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 2, 0 \leq y \leq 2}

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17. 求二重积分

\iint_{D} (x - y) d x d y

，其中

D = {(x, y) ∣ (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} \leq 2, y \geq x}

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18. 求二重积分

\iint_{D} (x - y) d x d y

，其中

D = {(x, y) ∣ (x - 1)^{2} + (y - 1)^{2} \leq 2, y \geq x}

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19. 计算二重积分

I = \iint_{D} r^{2} \sin θ \sqrt{1 - r^{2} \cos 2 θ} d r d θ

，其中

D = {(r, θ) ∣ 0 \leq r \leq \sec θ, 0 \leq θ \leq \frac{π}{4}}

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20. 计算二重积分

\iint_{D} (x + y)^{3} d x d y

，其中

D

由曲线

x = \sqrt{1 + y^{2}}

与直线

x + \sqrt{2} y = 0

及

x - \sqrt{2} y = 0

围成.

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21. 已知函数

f (x, y)

具有二阶连续偏导数，且

f (1, y) = 0

，

f (x, 1) = 0 ， \iint_{D} f (x, y) d x d y = a

，其中

D = {(x, y) ∣ 0 \leq x \leq 1, 0 \leq y \leq 1} ，

计算二重积分

I = \iint_{D} x y f_{x y}^{''} (x, y) d x d y .

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22. 设函数

f (x)

在

[0, 1]

有连续导数，

f (0) = 1

，且满足

\iint_{D_{t}} f^{'} (x + y) d x d y = \iint_{D_{t}} f (t) d x d y

其中

D_{t} = {(x, y) ∣ 0 \leq y \leq t - x, 0 \leq x \leq t} (0 < t \leq 1)

，求

f (x)

的表达式.

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23. 计算二重积分

\iint_{D} x y d σ

，其中区域

D

为曲线

r = 1 + \cos θ (0 \leq θ \leq π)

与极轴围成。

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24. 计算二重积分

\iint_{D} e^{x} x y d x d y

，其中

D

是以曲线

y = \sqrt{x}, y = \frac{1}{\sqrt{x}}

及

y

轴为边界的无界区域.

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25. 设平面区域

D

是由直线

x = 3 y, y = 3 x, x + y = 8

围成，计算

\iint_{D} x^{2} d x d y

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26. 设平面区域

D

是由直线

x = 3 y, y = 3 x, x + y = 8

围成，计算

\iint_{D} x^{2} d x d y

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27. 计算二重积分

\iint_{D} x (x + y) d x d y

，其中

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 2, y \geq x^{2}} .

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28. 计算二重积分

\iint_{D} x d x d y

，其中

D

为平面区域

D = {(r, θ) ∣ 2 \leq r \leq 2 (1 + \cos θ), - \frac{π}{2} \leq θ \leq \frac{π}{2}}

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29. 设

D

是由直线

y = 1, y = x, y = - x

围成的有界区域，计算二重积分

\iint_{D} \frac{x^{2} - x y - y^{2}}{x^{2} + y^{2}} d x d y

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30. 已知平面区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 2 y}

，计算二重积分

\iint_{D} (x + 1)^{2} d x d y

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31. 计算积分

\iint_{D} \frac{y^{3}}{{(1 + x^{2} + y^{4})}^{2}} d x d y

，其中

D

是第一象限中曲线

y = \sqrt{x}

与

x

轴边界的无界区域。

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32. 求

\iint_{D} x^{2} d x d y

，其中

D

由

y = \sqrt{3 (1 - x^{2})}

与

y = \sqrt{3} x

和

y

轴围成.

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33. 已知平面区域

D = {(x, y) ∥ x ∣\leq y, {(x^{2} + y^{2})}^{3} \leq y^{4}}

，求

\iint_{D} \frac{x + y}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d x d y

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34. 计算二重积分

\iint_{D} \frac{\sqrt{x^{2} + y^{2}}}{x} d σ

，其中区域

D

由

x = 1, x = 2, y = x

及

x

轴围成.

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35. 设区域

D = {(x, y) ∣ x^{2} + y^{2} \leq 1, y \geq 0}

连续函数

f (x, y)

满足

f (x, y) = y \sqrt{1 - x^{2}} + x \iint_{D} f (x, y) d x d y

计算

\iint_{D} x f (x, y) d x d y

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36. 设有界区域

D

是

x^{2} + y^{2} = 1

和直线

y = x

及

x

轴在第一象限围成的部分，计算二重积分

I = \iint_{D} e^{(x + y)^{2}} (x^{2} - y^{2}) d x d y

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37. 曲线

{(x^{2} + y^{2})}^{2} = x^{2} - y^{2} (x \geq 0, y \geq 0)

与

x

轴围成的区域为

D

，计算二重积分

I = \iint_{D} x y d x d y

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38. 计算二重积分

\iint_{D} \frac{(x - y)^{2}}{x^{2} + y^{2}} d x d y

，其中区域

D

为

y = x + 2

与

y = \sqrt{4 - x^{2}}

以及

x

轴所围成的区域.

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39. 已知平面区域

D = {(x, y) ∣ \sqrt{1 - y^{2}} \leq x \leq 1, - 1 \leq y \leq 1}

计算

I = \iint_{D} \frac{x}{\sqrt{x^{2} + y^{2}}} d x d y

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40. 设有界区域

D

位于第一象限，由曲线

x y = \frac{1}{3}, x y = 3

与直线

y = \frac{1}{3} x, y = 3 x

围成，计算

I = \iint_{D} (1 + x - y) d x d y

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