设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 有连续导数， $f(0)=1$ ，且满足
$$
\iint_{D_t} f^{\prime}(x+y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_t} f(t) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y
$$
其中 $D_t=\{(x, y) \mid 0 \leq y \leq t-x, 0 \leq x \leq t\}(0 < t \leq 1)$ ，求 $f(x)$ 的表达式.
$\text{A.}$
$\text{B.}$
$\text{C.}$
$\text{D.}$