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设 $S$ 为椭球面 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}+z^2=1$ 的上半部分，点 $P(x, y, z) \in S ， \pi$ 为 $S$ 在点 $P$ 处的切平面， $\rho(x, y, z)$ 为点 $O(0,0,0)$ 到平面 $\pi$ 的距离，求 $\iint_S \frac{z \mathrm{~d} S}{\rho(x, y, z)}$.
                        
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