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求二重积分 $I=\iint_D y\left[1+x e^{\frac{1}{2}\left(x^2+y^2\right)}\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 的值, 其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=-1$ 及 $x=1$ 围成的平面区域.
                        
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