一、解答题 （ 共 40 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
$\lim _{x \rightarrow \infty} \dfrac{3 x-5}{x^3 \sin \frac{1}{x^2}}=$
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\ln \sqrt{\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}}}{\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}-1}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x-e^x+1}{1-\sqrt{1-x^2}}=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\sin \frac{x}{2}+\cos 2 x\right)^{\frac{1}{x}}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(\int_0^x \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t\right)^2}{x}=$
设 $I_n=n \int_1^a \frac{\mathrm{d} x}{1+x^n}$, 其中 $a>1$. 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} I_n$.
设一元函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上可导, 且存在两个正数 $A < B$ 满足 $A < \left|f^{\prime}(x)\right| < B$,证明: $f\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$ 在 $\mathbb{R}^2$ 上一致连续,但 $f\left(x^3+y^3\right)$ 在 $\mathbb{R}^3$ 上不一致连续.
设 $f(x)$ 在点 $x=0$ 处可导, 目 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=2$, 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[f\left(\frac{1}{n}\right)\right]^{\frac{1 / n}{1-\cos (1 / n)}}$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{\left(1+\sin ^2 x\right)^{1902}-(\cos x)^{2022}}{\tan ^2 x} $
设 $0 < x_0 < \frac{\pi}{2}$ ，作迭代序列 $x_n=\sin \left(x_{n-1}\right) ， n=1,2, \cdots$.
(1) 证明 $\lim _{n \rightarrow+\infty} x_n=0$
(2)证明 $\left\{n x_n^2\right\}$ 收敛，并求其极限
求极限 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right]^x$
计算: $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_x^0 \ln (1+t) d t}{x^2}$ 。
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+x)-\left(a x+b x^2\right)}{x^2}=2$, 问 $a=?, \quad b=?$ 。
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\mathrm{e}^{a x}-\frac{1+b x}{1+2 x}}{1-\sqrt{1-x^2}}=-4$, 求 $a, b$.
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\sin \frac{1}{x}+\cos \frac{1}{x}\right)^x$
已知曲线 $y=f(x)$ 和 $\int_a^{y+x} \mathrm{e}^{-t^2} \mathrm{~d} t=2 y-\sin x$ 在原点处相切, 试求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\ln (1+x)}{x^{1+a}}\right)^{\frac{1}{f(x)}}$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{4 x-\sin 4 x}{8 x^2 \sin x}$ 。
求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_0^{x^2}\left(e^{\sqrt{t}}-1\right) d t}{x^2 \ln (1+3 x)}$ 。
设 $a_n=n \int_0^{\frac{n+1}{n}} \frac{x^{n-1}}{1+x^n} d x$, 求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 。
设 $f(x)=\int_0^x \frac{\sin t}{\pi-t} d t$, 求 $\int_0^\pi f(x) d x$ 。
设 $f(x)$ 为多项式，且 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)-2 x^3}{x^2}=1, \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=3$, 求 $f(x)$
设 $\alpha$ 为给定的实数, 若函数项级数
$$
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^\alpha} \sin \left(n x+\frac{1}{n x}\right)
$$
关于 $x \in(0,2 \pi)$ 内闭一致收敛, 求 $\alpha$ 的取值范围.
$ \lim _{x \rightarrow 0} \dfrac{1-\cos x}{\left(\mathrm{e}^{2 x}-1\right) \ln (1-x)}$
计算下列极限:
(1) $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_1^x\left[t^2\left(\mathrm{e}^{\frac{1}{t}}-1\right)-t\right] \mathrm{d} t}{x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)}$.
(2) $\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)^{\frac{1}{x}}$.
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^2+\pi}+\frac{1}{n^2+2 \pi}+\cdots+\frac{1}{n^2+n \pi}\right)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x-x^2 \cos \frac{1}{x}}{\left(e^{-x}-1\right)(1+\cos x)}$.
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}}(\cos (\sqrt{x}))^{\frac{1}{x}}$.
若 $\lim _{n \rightarrow+\infty} a_n=a,\left(a>0, a_n>0\right)$, 求 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \sqrt[n]{a_n}$.
讨论函数 $f(x, y)=\left(1+\frac{2}{x^2}\right)^{\frac{x^4}{x^2+y^2}}$ 在点 $(0,0)$ 处的累次极限和重积分存在性，若存在求其值.
证明: $f(x)=\ln x$ 在 $(1,+\infty)$ 上一致连续，但在 $(0,1)$ 上不一致连续.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1-\tan x}}{\sin x}$.
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\cos \left(\pi \sqrt{n^2+1}\right)\right]^2$.
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sqrt[n]{n !}}{n}$.
设 $f(x)$ 是 $(0,+\infty)$ 的单调增加函数，且存在极限
$\lim _{n \rightarrow \infty} a_n=+\infty, \lim _{n \rightarrow \infty} f\left(a_n\right)=A .$
证明: $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$.
设 $y=y(x)$ 为微分方程满足初值问题 $\left\{\begin{array}{l}\left(1-x^2\right) y^{\prime \prime}-x y^{\prime}=0, \\ y(0)=0, y^{\prime}(0)=1\end{array}\right.$ 的解, 求极限 $\lim _{x \rightarrow \frac{\sqrt{2}}{2}} \frac{y^2(x)-\frac{\pi^2}{16}}{2 x^2-1}$.
计算 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-(1+2 x)^{\frac{1}{2 x}}}{\sin x}$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left[\cos \left(x \mathrm{e}^x\right)-\ln (1-x)-x\right]^{\cot x^3} .$
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{1}{x} \cdot \frac{a^x-1}{a-1}\right)^{\frac{1}{x}}(a>0, a \neq 1) .$
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left[\frac{\ln \left(x+\sqrt{x^2+1}\right)}{\ln \left(x+\sqrt{x^2-1}\right)}\right]^{x^2 \ln x}$
求极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left(\sqrt[n]{n^2+1}-1\right) \cdot \sin \left(\frac{n \pi}{2}\right)$.