一、解答题 （ 共 40 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
求极限: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{1-\cos x}{\int_0^x \frac{\ln (1+x y)}{y} \mathrm{~d} y}$.
求函数 $z=f(x, y)=\left(1+\mathrm{e}^y\right) \cos x-y \mathrm{e}^y$ 的极值.
求函数极限: $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x \cdot(1+x)^{\frac{1}{2}}}-\frac{1}{e x}\right)$.
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{|x|^a|y|^a}{x^2+y^2}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$ ，证明:
(1) 当 $a>1$ 时， $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续.
(2) 当 $a>\frac{3}{2}$ 时， $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微.
利用麦克劳林公式求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-\mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2}}}{x^4}$.
计算 $ \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}{x^3}$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin x, x>0 \\ a+x^2, x \leq 0\end{array}\right.$, 问 $a$ 为何值时 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)$ 存在? 极限值为多少?
已知 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{a x^2+x-3}{x-1}=b$, 求常数 $a, b$ 的值.
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \dfrac{1+\frac{1}{2}+\cdots+\frac{1}{n^2-1}+\frac{1}{n^2}}{n \ln n}$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left(n \sin \frac{1}{n}-1\right)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{1+\tan ^2 x}-\sqrt{\cos x}}{x \sin x}$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(b^{\frac{1}{n}}-1\right) \sum_{i=0}^{n-1} b^{\frac{i}{n}} \sin b^{\frac{2 i+1}{2 n}}(b>1)$.
已知函数 $f(x)$ 可导, 设 $g(x)=\arctan [f(x)], f^{\prime}(0)=1, g^{\prime}(0)=\frac{1}{2}$, 则 $f(0)=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x \cdot \tan x}\right)$.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1+\frac{1}{2} x^2-\sqrt{1+x^2}}{\left(\cos x-e^{x^2}\right) \cdot \sin \left(x^2\right)}$.
设 $g(0)=0, g^{\prime}(0)=1$ ，分析
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
g(x) \sin \left(\frac{1}{x}\right), x>0, \\
g(x) \cos x, x \leq 0
\end{array}\right.
$$
在 $x=0$ 处的连续性和可导性.
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x^a \ln ^b x$, 其中 $a>0, b>0$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin \sin \cos x-\sin \sin 1}{\cos \cos \cos x-\cos \cos 1}$
$$
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{(1+x)}\right)^{1+x}-\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}{\ln \arctan (x+1)-\ln \arctan x}
$$
证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} 0 . \underbrace{999 \cdots 9}_{n \text { 个9 }}=1$
证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$
设 $a_1=a>0, a_2=b>0$, 且满足 $a_{n+2}=2+\frac{1}{a_{n+1}^2}+\frac{1}{a_n^2}, \quad n=1,2,3$ 证明: 数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛.
设 $\left\{x_n\right\}$ 满足: $-1 < x_0 < 0, x_{n+1}=x_n^2+2 x_n(n=0,1,2, \cdots)$,证明: $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 并求 $\lim _{x \rightarrow 0} x_n$
设 $\lambda>1, a=\lambda^{\frac{1}{\lambda}}$ , $a_1=a, a_2=a^{a_1}, \cdots, a_{n+1}=a^{a_n}, \cdots .$
试问 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 是否存在? (请详细说明理由). 如果存在的话, 求出此极限值.
设正数列 $A$ 满足$x_{n+1} \leqslant x_n+\frac{1}{n^2},$ 求证: $\left\{x_n\right\}$ 收敛.
设 $a_1=\sqrt{1+2015}, a_2=\sqrt{1+2015 \sqrt{1+2016}}, \cdots$,
$$
a_n=\sqrt{(1+2015 \sqrt{(1+2016 \sqrt{(1+\cdots+(2014+n) \sqrt{1+(2013+n)})})}}
$$
求证：数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛, 并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} a_n$ 的值
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} y_n$, 其中 $y_n=1+\frac{y_{n-1}}{1+y_{n-1}}, y_0=1$
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_1=a>1$, 且满足递推
$$
x_{n+1}=1+\ln \left(\frac{x_n^2}{1+\ln x_n}\right), n=2,3, \cdots
$$
求证: $\left\{x_n\right\}$ 收敛, 并求出极限值
设 $x_1>x_2>0, x_{n+2}=\sqrt{x_{n+1} x_n}$, 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 并求极限
设 $x_1=a \geqslant 0, y_1=b \geqslant 0$, 且
$x_{n+1}=\sqrt{x_n y_n}, y_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+y_n\right), n=1,2, \cdots \text {, }$
则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=\lim _{n \rightarrow \infty} y_n$
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(b^{\frac{1}{n}}-1\right) \sum_{i=0}^{n-1} b^{\frac{i}{n}} \sin b^{\frac{2 i+1}{2 n}}(b>1)$.
若 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\sqrt{x^4+3}-\left[A+B(x-1)+C(x-1)^2\right]}{(x-1) \sin (x-1)}=0$, 求常数 $A, B, C$ 。
计算极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}$.
设
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cl}
1, & |x| < 1 \\
0, & |x|=1, g(x)=\mathrm{e}^x \\
-1, & |x|>1
\end{array}\right.
$$
求 $f[g(x)]$ 和 $g[f(x)]$, 并作出这两个函数的图形.
已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角 $\varphi=40^{\circ}$ (图 1-4). 当过水断面 $A B C D$ 的面积为定值 $S_0$ 时, 求湿周 $L(L=A B+B C+C D)$ 与水深 $h$ 之间的函数关系式, 并指明其定义域.
设 $x O y$ 平面上有正方形 $D=\{(x, y)|0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1|$ 及直线 $l: x+y=t(t \geqslant 0)$.若 $S(t)$ 表示正方形 $D$ 位于直线 $l$ 左下方部分的面积, 试求 $S(t)$ 与 $t$ 之间的函数关系.
求联系华氏温度 (用 $F$ 表示) 和摄氏温度 (用 $C$ 表示) 的转换公式,并求
(1) $90{ }^{\circ} \mathrm{F}$ 的等价摄氏温度和 $-5^{\circ} \mathrm{C}$ 的等价华氏温度;
(2) 是否存在一个温度值, 使华氏温度计和摄氏温度计的读数是一样的? 如果存在,那么该温度值是多少?
已知 Rt $\triangle A B C$ 中, 直角边 $A C, B C$ 的长度分别为 20,15 , 动点 $P$ 从 $C$ 出发, 沿三角形边界按 $C \rightarrow B \rightarrow A$ 方向移动; 动点 $Q$ 从 $C$ 出发, 沿三角形边界按 $C \rightarrow A \rightarrow B$ 方向移动,移动到两动点相遇时为止, 且点 $Q$ 移动的速度是点 $P$ 移动的速度的 2 倍. 设动点 $P$ 移动的距离为 $x, \triangle C P Q$ 的面积为 $y$, 试求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系.
（1）数列的有界性是数列收敛的什么条件?
（2）无界数列是否一定发散？
（3）有界数列是否一定收敛？
$\lim _{n \rightarrow \infty} 0 . \underbrace{999 \cdots 9}_{n \uparrow}=1$