一、单选题 （共 9 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
$x \rightarrow 0^{+}$时, 下列无穷小阶数最高的是
$\text{A.}$ $\int_0^x\left(\mathrm{e}^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t$
$\text{B.}$ $\int_0^x \ln \left(1+\sqrt{t^3}\right) \mathrm{d} t$
$\text{C.}$ $\int_0^{\sin x} \sin t^2 \mathrm{~d} t$
$\text{D.}$ $\int_0^{1-\cos x} \sqrt{\sin ^3 t} \mathrm{~d} t$
下列函数在其定义域内有界的是
$\text{A.}$ $\frac{\sin x}{x}$
$\text{B.}$ $\tan x$
$\text{C.}$ $\frac{\ln x}{x}$
$\text{D.}$ $x e^{-x}$
关于函数 $y=x \ln x, x$ 定义域为 $(0,+\infty)$, 以下描述不正确的是
$\text{A.}$ 在区间 $\left(0, \mathrm{e}^{-1}\right)$ 单调递减
$\text{B.}$ 在 $\mathrm{x}=\mathrm{e}^{-1}$ 处取最小值
$\text{C.}$ $\left(e^{-1},-e^{-1}\right)$ 是曲线 $y=x \ln x$ 的拐点
$\text{D.}$ 曲线 $y=x \ln x$ 无渐近线
若函数 $f(x)=2^{\frac{1}{x}}+\arctan \frac{x|x|}{(x-1)(x-2)}$ 下面哪一条直线不是此函数的渐近线
$\text{A.}$ $x=0$
$\text{B.}$ $y=1-\frac{\pi}{4}$
$\text{C.}$ $x=2$
$\text{D.}$ $y=1+\frac{\pi}{4}$
已知 $\lim _{x \rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{(x-a)^2}=-1$, 则在 $x=a$ 处
$\text{A.}$ $f(x)$ 可导, 且 $f^{\prime}(a) \neq 0$.
$\text{B.}$ $f(x)$ 取极大值.
$\text{C.}$ $f(x)$ 取极小值.
$\text{D.}$ $f(x)$ 导数不存在.
当 $x \rightarrow+\infty$ 时, $f(x)=\left(x^3-x^2+\frac{1}{2} x\right) \mathrm{e}^{\frac{1}{x}}-\sqrt{x^6+1}-\frac{1}{6}$ 是 $g(x)=\alpha x^\beta$ 等价无穷小, 则 $\alpha, \beta=$
$\text{A.}$ $\alpha=\frac{1}{2}, \beta=-1$
$\text{B.}$ $\alpha=\frac{1}{8}, \beta=-1$
$\text{C.}$ $\alpha=\frac{1}{8}, \beta=-2$
$\text{D.}$ $\alpha=\frac{1}{2}, \beta=-2$
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上单调递增, 则下列说法中错误的是
$\text{A.}$ 如果函数极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$, 则数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} f(n)=A$
$\text{B.}$ 如果数列极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} f(n)=A$, 则函数极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=A$
$\text{C.}$ 如果数列 $x_n \rightarrow x_0$ 且 $x_n \neq x_0$, 则极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} f\left(x_n\right)$ 存在
$\text{D.}$ 函数 $f(x)$ 的间断点必然是跳跃间断点
设函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上可导, 则下列说法中正确的是
$\text{A.}$ 如果 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0$
$\text{B.}$ 如果 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=0$
$\text{C.}$ 如果 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在
$\text{D.}$ 如果 $\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{f(x)}{x}=0$, 则 $\lim _{x \rightarrow \infty} f^{\prime}(x)=0$
设 $\varphi(x, y)$ 在 $(0,0)$ 的邻域内连续且 $\varphi(0,0)=0$, 则函数 $f(x, y)=(|x|+|y|) \varphi(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 可微
$\text{B.}$ 连续但偏导数不存在
$\text{C.}$ 偏导数连续
$\text{D.}$ 偏导数存在但不可微
二、填空题 （共 31 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
$\int_{-2}^2 \frac{\sin x^3+|x|}{1+x^2} \mathrm{~d} x=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{x}\left(\frac{1}{\sin x}-\frac{1}{\tan x}\right)=$
如果 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2+a x+b}{x^2-x-2}=2$, 则常数 $a=$ , $b=$
设 $f(x)$ 连续, 则 $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_0^x t f\left(x^2-t^2\right) \mathrm{d} t=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x-\sin x}{x^3}, & x \neq 0 \\ a, & x=0\end{array}\right.$, 则当 $a=$时, $f(x)$ 在点 $x=0$ 处连续.
设曲线 $y=f(x)$ 过点 $(0,0)$, 且当 $x$ 在点 $x=0$ 处取得增量 $\Delta x$ 时, 相应函数的增量为 $\Delta y=$ $3 \Delta x+o(\Delta x)$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} n f\left(\frac{2}{n}\right)=$
设 $f(x)=\int_1^x \frac{\ln (1+t)}{t} \mathrm{~d} t(x>0)$, 则 $f(2)+f\left(\frac{1}{2}\right)=$
$\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\mathrm{e}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}-1\right]=$
已知函数 $f(x)$ 是周期为 $\pi$ 的奇函数, 且当 $x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]$ 时, $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin ^n x+\left(\frac{2 x}{\pi}\right)^n}$,则 $\int_0^\pi f(x) d x=$
设 $f(x)=a \int_0^{\sin x}\left(e^{t^2}-1\right) \mathrm{d} t, x^b \ln (1+x)$ 是 $g(x)$ 的一个原函数, 若 $x \rightarrow 0$ 时, $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小, 则 $a+b=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^2}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{(1+x)^{\frac{1}{x}}}-(1+x)^{\frac{e}{x}}}{x^2}$
已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内可导, 且 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sin x}{x^2}+\frac{f(x)}{x}\right)=2$, 试求 $f(0), f^{\prime}(0), \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x}{f(x)+\mathrm{e}^x}$
当 $x \rightarrow \infty$ 时, $\left[\frac{e}{\left(1+\frac{1}{x}\right)^x}\right]^x-\sqrt{e}$ 与 $c \cdot x^k$ 是等价无穷小, 求 $c$ 与 $k$ 的值分别为 ________ .
设函数 $f(x)$ 在点 $x=0$ 可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=2$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(1-\cos x)}{(\arctan x)^2}=$
设 $f(x)$ 在 $[1,+\infty)$ 上具有连续导数, $f(1)=1, g(x)$ 为 $f(x)$ 的反函数, 且满足 $\int_1^{f(x)} g(t) \mathrm{d} t=$ $x \ln x$, 则在 $[1,+\infty)$ 上 $f(x)=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x \arctan 2 x}-\frac{1}{2 \sin ^2 x}\right)=$
设 $a>0, \lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x \sqrt{a \mathrm{e}^{2|x|}+\mathrm{e}^{|x|}}-a(x+\ln |x|) \mathrm{e}^{|x|}}{\sqrt{x^2+\ln |x|} \mathrm{e}^{|x|}}$ 存在, 则 $a=$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{2 !}+\frac{2}{3 !}+\ldots+\frac{n}{(n+1) !}\right]^{2 n \cdot n !}=$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{1}{x} \int_0^x\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 \mathrm{~d} t, & x \neq 0, \\ 1, & x=0,\end{array}\right.$ 则 $f^{(4)}(0)=$
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(1+\frac{x}{n}\right)\left(1+\frac{2 x}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n x}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$, 则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \cos x}{x^2}$
已知 $f(x)$ 连续， $f(x)=x^2-\int_0^2 f(x) d x$ ，求 $f(x)$
$y=\frac{\arcsin x+\arccos x}{e^x}(-1 \leq x \leq 1)$ ，求 $y^{(n)}$
求不定积分 $\int \frac{\ln \sin x}{\sin ^2 x} d x$
设 $f(x)=x \mathrm{e}^x$, 则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^n f\left[\frac{f^{(k)}(0)}{n}\right]=$
若 $a>2, b, c \neq 0$, 则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{b \sin x-\int_{c x^3}^{b x} e^{-t^a} \mathrm{~d} t}{x-\sin x}=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\ln \left(x^2+3 x+1\right)}{\ln \left(x^3+2 x+1\right)}$;
已知 $f(x)=e^{x^2}, f[\varphi(x)]=1-x$, 且 ${\varphi}(x) \geq 0$, 则 $\varphi(x)=$
已知 $a$ 为常数, $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2+2}{x}-a x+1\right)=1$, 则 $a=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (x+a)-\ln a}{x} \quad(a>0)$ 的值是