一、单选题 （共 3 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
设 $f(x, y)$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0\right)$ 处有二阶连续偏导数, 且 $f(x, y)$ 在 $P_0$ 处取得极大 值, 则
$\text{A.}$ $f_{x x}^{\prime \prime}\left(P_0\right) \geqslant 0, f_{y y}^{\prime \prime}\left(P_0\right) \geqslant 0$.
$\text{B.}$ $f_{x x}^{\prime \prime}\left(P_0\right) < 0, f_{y y}^{\prime \prime}\left(P_0\right) < 0$.
$\text{C.}$ $f_{x x}^{\prime \prime}\left(P_0\right) \leqslant 0, f_{y y}^{\prime \prime}\left(P_0\right) \leqslant 0$.
$\text{D.}$ $f_{x x}^{\prime \prime}\left(P_0\right) \leqslant 0, f_{y y}^{\prime \prime}\left(P_0\right) \geqslant 0$.
设 $z=\sin \left(x+y^2\right)$ ，则 $\dfrac{\partial^2 z}{\partial x^2}=$.
$\text{A.}$ $-\sin \left(x+y^2\right)$
$\text{B.}$ $-\cos \left(x+y^2\right)$
$\text{C.}$ $\sin \left(x+y^2\right)$
$\text{D.}$ $\cos \left(x+y^2\right)$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\left(x^2+y^2\right) \cos \left(\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right), & x^2+y^2 \neq 0, \\ 0, & x^2+y^2=0,\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ 不存在
$\text{B.}$ $\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}$ 连续
$\text{C.}$ 可微
$\text{D.}$ 不连续
二、填空题 （共 6 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设向量场 $\boldsymbol{A}(x, y, z)=x y \boldsymbol{i}-y z \boldsymbol{j}+z x \boldsymbol{k}$, 则 $\operatorname{div}[\operatorname{rot} \boldsymbol{A}(x, y, z)]=$
设 $z=z(x, y)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{l}x=(t+1) \cos z, \\ y=t \sin z\end{array}\right.$ 确定, $t=t(x, y)$, 则 $\frac{\partial z}{\partial x}=$
设 $z=\frac{1}{x} f\left(x^2 y\right)+x y g(x+y)$ ，其中 $f, g$ 具有二阶连续导数， 计算 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2}, \frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$.
曲线 $y=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x-1}$ 有水平渐近线 ________ 和铅直渐近线 ________
设函数 $y(x)$ 由参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=t^3+3 t+1 \\ y=t^3-3 t+1\end{array}\right.$ 确定, 则 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$ ________
已知 $x=a(t-\sin t) ; y=a(1-\cos t)$; $\frac{d y}{d x}=$.
三、解答题 （ 共 8 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设 $f(x)$ 二阶可导, 且 $f(0)=0, f^{\prime}(0)=0$, 若 $g(x, y)=\int_0^y f(x t) \mathrm{d} t$ 满足方程
$$
\frac{\partial^2 g}{\partial x \partial y}-x y g(x, y)=x y^2 \sin x y,
$$
求 $g(x, y)$.
已知函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2 y}{x^4+y^2}, & x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, & x^2+y^2=0\end{array}\right.$;
证明: (1) $\frac{\partial f}{\partial x}(0,0), \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)$ 存在;
(2) $\frac{\partial f}{\partial x}(x, y), \frac{\partial f}{\partial y}(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续;
(3) $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处不可微.
设 $z=f(x, y)$ 是由方程 $\mathrm{e}^x z+x y z+\frac{1}{2} z^2-1=0$ 确定的隐函数, 求 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$.
设二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\frac{2 x y^3}{x^2+y^4}, x^2+y^2 \neq 0 \\ 0, x^2+y^2=0\end{array}\right.$. 讨 论 $f$ 在原点的连续性，偏导数的存在性以及 $f$ 在原点的可微性.
证明: 方程 $x+\frac{1}{2} y^2+\frac{1}{2} z+\sin z=0$ 在 $(0,0,0)$ 附近唯一确定隐函数 $z=f(x, y)$ ，并将 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处展开 为二阶带有皮亚诺余项的泰勒公式.
计算 $f(x, y)=5 x^2+5 y^2-8 x y$ 在条件 $x^2+y^2-x y=75$ 下的最小值.
已知 $y=\left(1+x^2\right) \arctan x$, 求 $y^{\prime \prime}$
设函数 $y=y(x)$ 由方程组 $\left\{\begin{array}{l}y=f(x, t) \\ t=F(x, y)\end{array}\right.$ 所确定，求 $\frac{d y}{d x}$ ( 假定隐函数定理条件满 足)