一、单选题 （共 2 题，每小题 5 分，共 50 分，每题只有一个选项正确）
直线 $L: \frac{x}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{7}$ 和平面 $\pi: 3 x-2 y+7 z-8=0$ 的位置关系是
$\text{A.}$ 直线 $L$ 平行于平面 $\pi$
$\text{B.}$ 直线 $L$ 在平面 $\pi$ 上
$\text{C.}$ 直线 $L$ 垂直于平面 $\pi$
$\text{D.}$ 直线 $L$ 与平面 $\pi$ 斜交
已知曲面 $z=4-x^2-y^2$ 上点 $P$ 处的切平面平行于平面 $2 x+2 y+z-1=0$, 则点 $P$ 的坐标是
$\text{A.}$ $(1,-1,2)$
$\text{B.}$ $(-1,1,2)$
$\text{C.}$ $(1,1,2)$
$\text{D.}$ $(-1,-1,2)$
二、填空题 （共 10 题, 每小题 5 分，共 20 分， 请把答案直接填写在答题纸上）
设向量 $a=(2,1,2), \vec{b}=(4,-1,10), \vec{c}=\vec{b}-\lambda \hat{1}$, 且 $\vec{a} \perp \mathbf{1} \dot{c}$, 则 $\lambda=$
设矢量 $a, b$ 满足 $|a+b|=|a-b|$, 若 $a=(1,2,3), b=(1,4, \lambda)$, 则 $\lambda=$ ?
与向量 $\vec{a}=(1, \sqrt{2},-1)$ 平行的单位向量是
设向量 $\vec{a}=(3,-1,-2), \vec{b}=(1,2,-1)$, 则 $2 \vec{a} \times 3 \vec{b}=$
设向量 $\vec{a}=(3,1,-2), \vec{b}=(1,-2,0)$, 则 $\vec{a} \times \vec{b}=$
求经过原点, 且与两平面 $x+2 y+3 z-13=0$ 和 $3 x+y-z-1=0$ 都垂直的平面的方程。
求椭球面 $\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{4}+\frac{z^2}{4}=1$ 在点 $(1,-1,1)$ 处的切平面方程。
设向量 $\mathrm{a}=(2,0,-2), \mathrm{b}=(3,-4,0)$, 则 $\mathrm{a} \times \mathrm{b}=$
椭球面 $x^2+2 y^2+3 z^2=15$ 在点 $(1,-1,2)$ 处的切平面方程为
三、解答题 （ 共 14 题，满分 80 分，解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 ）
设区域 $D: 0 \leqslant x \leqslant 2,|y| \leqslant x$, 函数 $f(x, y)=\max _{-1 \leqslant t \leqslant 3}\left(t^2-2 x t+y^3\right.$ ), 计算二重积分 $\iint_D f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
设 $\mathbb{R}^m$ 是 $m$ 维实向量空间, 若 $\varphi(\vec{x})=\|\vec{x}\|$ 满足:
(a) $\forall \vec{x} \in \mathbb{R}^m, \varphi(\vec{x}) \geqslant 0$, 当且仅当 $\vec{x}=\overrightarrow{0}$ 时取等;
(b) $\forall \alpha \in \mathbb{R}, \quad \vec{x} \in \mathbb{R}^m, \quad \varphi(\alpha \vec{x})=\alpha \varphi(\vec{x})$;
(c) $\forall \vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^m, \varphi(\vec{x}+\vec{y}) \leqslant \varphi(\vec{x})+\varphi(\vec{y})$.
则称 $\varphi(\vec{x})=\|\vec{x}\|$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的范数, 证明:
(1) $\forall \vec{x}=\left(x_1, x_2, \cdots, x_m\right), \quad\|\vec{x}\|_1=\sum_{k=1}^m\left|x_k\right|, \quad\|\vec{x}\|_2=\left(\sum_{k=1}^m x_k^2\right)^{\frac{1}{2}}$,
$\|\vec{x}\|_{\infty}=\max _{1 \leqslant k \leqslant m}\left|x_k\right|$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的范数;
(2) $\varphi(\vec{x})=\|\vec{x}\|$ 在 $\mathbb{R}^m$ 上是一致连续函数.
(3)设 $\|\cdot\|$ 是 $\mathbb{R}^m$ 上的任意一个范数, 则 $\forall \vec{x} \in \mathbb{R}^m, \exists M_1, M_2>0$;
使得: $M_1\|\vec{x}\|_1 \leqslant\|\vec{x}\| \leqslant M_2\|\vec{x}\|_1$.
( I ) 设 $f(x, y, z)$ 是连续函数, 当 $t \rightarrow 0^{+}$时, $I(t)=\iiint_{x^2+y^2+z^2 t^2} f(x, y, z) \mathrm{d} v$ 是 否为无穷小量?如果是, 指出它的阶.
(II) 曲线 $C$ 的方程为 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2=1, \\ x^2+y^2=x,\end{array} z>0\right.$, 从上往下看 $C$ 的方向是顺时针的, 求向 量场 $\boldsymbol{A}=y^2 \boldsymbol{i}+z^2 \boldsymbol{j}+x^2 \boldsymbol{k}$ 沿 $C$ 的环量.
设直角坐标空间中有两点 $A(1,1,0), B(0,2,1)$.
(1)求经过 $A B$ 且与坐标面 $z=0$ 垂直的平面方程;
(2)求经过 $A B$ 的直线方程;
(3) 将直线 $A B$ 绕 $z$ 轴旋转一周, 求介于面 $z=0$ 与 $z=2$ 之间的旋转体体积.
已知 $\vec{a}=\vec{i}, \vec{b}=\vec{j}-2 \vec{k}, \vec{c}=2 \vec{i}-2 \vec{j}+\vec{k}$, 求一单位向量 $\vec{m}$ ，使 $\vec{m} \perp \vec{c}$ ，且 $\vec{m}$ 与 $\vec{a}, \vec{b}$ 共面。
设 $A=\left(a_{k j}\right)_{3 \times 3}$ 是3阶实方阵, $|A| \neq 0$, 记 $D(x)=\left(a_{k j}+x\right)_{3 \times 3}$及 $g(x)=\operatorname{det} D(x)$ 。（1）试求导数 $g^{\prime}(x)$ 并证明: $g^{\prime}(0)=|A| \alpha^T\left(A^{-1}\right) \alpha$, 其中向量 $\alpha^T=(1,1,1)$;
(2) 若 $A=\left(\begin{array}{lll}2 & 3 & 4 \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2\end{array}\right)$, 求 $g^{\prime}(0)$ 。
设函数 $f(x)$ 连续， $\Sigma$ 是球面:
$$
x^2+y^2+z^2=1 \text { ，且 } a, b, c \text { 是常数. }
$$
证明:
$$
\iint_{\Sigma} f(a x+b y+c z) \mathrm{d} S=2 \pi \int_{-1}^1 f\left(\sqrt{a^2+b^2+c^2} u\right) \mathrm{d} u .
$$
设 $\triangle A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A(3,0,2), B(5,3,1), C(0,-1,3)$, 求该三角形的面积.
求过点 $(2,-1,3)$ 且与直线 $L: \frac{x-1}{3}=\frac{y+1}{2}=\frac{z+14}{-1}$ 垂直相交的直线方程.
求曲面 $x^2+2 y^2+3 z^2=21$ 上平行于平面 $x+4 y+6 z=1$ 的切平面方程.
设三个向量分别为 $\vec{a}=(2,-2,1), \vec{b}=(1,-1,3), \vec{c}=(1,-2,0)$, 求 $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot \vec{c}$.
求通过直线 $L_1: \frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{0}=\frac{z-3}{-1}$ 且与直线 $L_2: \frac{x+2}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$ 平行的平面方程.
求曲面 $x^2+2 y^2+3 z^2=21$ 上平行于平面 $x+4 y+6 z=1$ 的切平面方程.
求曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+2 y^2+z^2=1, \\ x+2 y=1,\end{array}\right.$ 上到坐标原点距离最近的点.