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不定积分选择题

数学

本试卷总分150分,考试时间120分钟。

注意事项:

答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在本试卷上无效。

考试结束后, 将本试卷和答题卡一并交回。

学校：_______________ 姓名：_____________ 班级：_______________ 学号：_______________

一、单选题（共 17 题），每题只有一个选项正确

1. 已知

F (x)

为

f (x)

的一个原函数, 则

\int x f^{'} (2 x) d x =

A.

\frac{1}{4} x F^{'} (2 x) + \frac{1}{2} F (2 x) + C

B.

\frac{1}{4} x F^{'} (2 x) - \frac{1}{2} F (2 x) + C

C.

\frac{1}{2} x F^{'} (2 x) + \frac{1}{4} F (2 x) + C

D.

\frac{1}{2} x F^{'} (2 x) - \frac{1}{4} F (2 x) + C

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2. 以下说法正确的是( ).

A.

如果函数

f (x)

在区间

[a, b]

上有定义，则

f (x)

在区间

[a, b]

上可积

B.

如果

f (x)

在区间

[a, b]

上可积，则

Φ (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t

x \in [a, b]

可导

C.

如果函数

f (x)

在区间

[a, b]

上连续，

c \in (a, b)

，则

\frac{d}{d x} \int_{c}^{x} f (t) d t = f (x)

D.

如果

f (x)

是定义在区间

[- a, a] (a > 0)

上的奇函数，则

\int_{- a}^{a} f (t) d t = 0

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3. 设

f (x) = \frac{1}{1 - x^{2}}

, 则

f (x)

的一个原函数为

A.

\arcsin x

B.

\arctan x

C.

\frac{1}{2} \ln | \frac{1 - x}{1 + x} |

D.

\frac{1}{2} \ln | \frac{1 + x}{1 - x} |

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4. 设

I = \int \arctan x d x

, 则

I =

A.

x \arctan x - \ln \sqrt{x^{2} + 1} + C

B.

x \arctan x - \ln | x^{2} + 1 | + C

C.

x \arctan x + \frac{1}{2} (x^{2} + 1) + C

D.

\frac{1}{1 + x^{2}} + C

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5. 设

I = \int \frac{a + x}{\sqrt{a^{2} - x^{2}}} d x

, 则

I = ()

A.

a \arcsin \frac{x}{a} + \sqrt{a^{2} - x^{2}} + C

B.

a \arcsin \frac{x}{a} - \sqrt{a^{2} - x^{2}} + C

C.

a \arcsin \frac{x}{a} - x \sqrt{a^{2} - x^{2}} + C

D.

\arcsin \frac{x}{a} - \sqrt{a^{2} - x^{2}} + C

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6. 设

I = \int \frac{\arctan \sqrt{x}}{\sqrt{x} (1 + x)} d x

, 则

I =

A.

- (\arctan \sqrt{x})^{2} + C

B.

\arctan \sqrt{x} + C

C.

(\arctan \sqrt{x})^{2} + C

D.

- \sqrt{\arctan x} + C

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7. 设

I = \int \frac{d x}{e^{x} + e^{- x}}

, 则

I =

A.

e^{x} - e^{- x} + C

B.

\arctan e^{x} + C

C.

\arctan e^{- x} + C

D.

e^{x} + e^{- x} + C

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8. 设

I = \int (2 x - 3)^{10} d x

, 则

I =

A.

10 (2 x - 3)^{9} + C

B.

20 (2 x - 3)^{9} + C

C.

\frac{1}{22} (2 x - 3)^{11} + C

D.

\frac{1}{11} (2 x - 3)^{11} + C

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9. 设

\int f (x) d x = F (x) + C

, 则

\int \frac{1}{x^{2}} f (\frac{2}{x}) d x =

A.

F (\frac{2}{x}) + C

B.

- F (\frac{2}{x}) + C

C.

- \frac{1}{2} F (\frac{2}{x}) + C

D.

2 F (\frac{2}{x}) + C

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10. 设

I = \int \frac{d x}{1 + \sqrt{x}}

, 则

I =

A.

- 2 \sqrt{x} + 2 \ln (1 + \sqrt{x}) + C

B.

2 \sqrt{x} + 2 \ln (1 + \sqrt{x}) + C

C.

2 \sqrt{x} - 2 \ln (1 + \sqrt{x}) + C

D.

- 2 \sqrt{x} - 2 \ln (1 + \sqrt{x}) + C

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11. 设

I = \int a^{b x} d x

, 则

I =

A.

\frac{1}{b} \cdot \frac{a^{b x}}{\ln a} + C

B.

\frac{1}{b} \cdot \ln a \cdot a^{b x} + C

C.

\frac{1}{\ln a} a^{b x} + C

D.

\frac{1}{b} \cdot a^{b x} + C

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12. 设

I = \int \frac{x d x}{a + b x^{2}}

, 则

I =

A.

\frac{1}{2} \ln | a + b x^{2} | + C

B.

\frac{b}{2} \ln | a + b x^{2} | + C

C.

\frac{1}{b} \ln | a + b x^{2} | + C

D.

\frac{1}{2 b} \ln | a + b x^{2} | + C

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13. 设

f (x)

是连续函数，

F (x)

是

f (x)

的原函数，则

A.

当

f (x)

是奇函数时，

F (x)

必是偶函数

B.

当

f (x)

是偶函数时，

F (x)

必是奇函数

C.

当

f (x)

是是周期函数时，

F (x)

必是周期函数

D.

当

f (x)

是单调增函数时，

F (x)

必是单调增函数

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14. 若

\int f (x) d x = F (x) + C

, 则

\int f (2 x + 3) d x =

A.

F (2 x + 3)

B.

2 F (2 x + 3) + C

C.

\frac{1}{2} F (2 x + 3)

D.

\frac{1}{2} F (2 x + 3) + C

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15. 若

f (x)

的导函数是

\sin x

, 则

f (x)

有一个原函数为

A.

1 + \sin x

B.

1 - \sin x

C.

1 + \cos x

D.

1 - \cos x

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16. 已知

f^{'} (x) = 2^{x} (x \in R)

, 则

f (x)

在

R

上的一个原函数为

A.

\frac{2^{x}}{\ln 2}

B.

\frac{2^{x}}{\ln^{2} 2}

C.

2^{x} \ln 2

D.

2^{x}

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17. 已知

f (x) = max {1, x^{2}}

, 则

\int f (x) d x =

A.

{\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} - \frac{2}{3} + C, & x < - 1 \\ x + C, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3} + C, & x > 1 \end{cases}

B.

{\begin{array}{cc} \frac{x^{3}}{3} + C, & x < - 1 \\ x + C, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + C, & x > 1 \end{array}

C.

{\begin{array}{cc} \frac{x^{3}}{3} + C_{1}, & x < - 1 \\ x + C_{2}, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + C_{3}, & x > 1 \end{array}

D.

{\begin{cases} \frac{x^{3}}{3} - \frac{4}{3} + C, & x < - 1 \\ x + C, & - 1 \leq x \leq 1 \\ \frac{x^{3}}{3} + \frac{2}{3} + C, & x > 1 \end{cases}

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