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设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq \sqrt{2}, x \geq 0, y \geq 0\right\}$ ， $\left[1+x^2+y^2\right]$ 表示不超过 $1+x^2+y^2$ 的最大整数. 计算二重积分 $\iint_D x y\left[1+x^2+y^2\right] \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$.
                        
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