题号:2305    题型:解答题    来源:2019年华中科技大学《微积分(一)上》期末模拟考试
类型:模拟考试
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1$, 且 $f^{\prime \prime}(x) > 0$, 证明当 $x \neq 0$ 时, $f(x) > x$.
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答案:
证 1 由题设, 得 $f(0)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$,
$$
f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1,
$$

当 $x \neq 0, \quad f(x)=f(0)+f^{\prime}(0) x+\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2} x^2=x+\frac{f^{\prime \prime}(\xi)}{2} x^2 > x$
证 2 令 $F(x)=f(x)-x$,
$$
F^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-1,
$$
由题设, 得
$$
f(0)=\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0,
$$
$$
\begin{gathered}
f^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x}=1, \quad F^{\prime}(0)=0, \\
F^{\prime \prime}(x)=f^{\prime \prime}(x) > 0,
\end{gathered}
$$
$F(0)=0$ 是极小值也是最小值, 故当 $x \neq 0$, 有 $F(x) > 0$, 即
$$
f(x) > x
$$

$F(0)=0$ 是极小值也是最小值, 故当 $x \neq 0$, 有 $F(x) > 0$, 即
$$
f(x) > x
$$

解析:

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