题号:2299    题型:解答题    来源:2019年华中科技大学《微积分(一)上》期末模拟考试
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2}(1-\sin 2 t)^{\frac{1}{t}} d t}{\left(e^x-1\right) \ln (1+x)}$.
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答案:
原式 $=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2}(1-\sin 2 t)^{\frac{1}{t}} d t}{x^2}$
$=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x\left(1-\sin 2 x^2\right)^{\frac{1}{x^2}}}{2 x}$
$=\lim _{x \rightarrow 0}\left(1-\sin 2 x^2\right)^{-\frac{1}{\sin 2 x^2} \cdot \frac{-\sin 2 x^2}{x^2}}$
$=e^{\lim _{x \rightarrow 0} \frac{-\sin 2 x^2}{x^2}}=e^{-2} .$
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