题号:2974    题型:解答题    来源:李林考研数学考前冲刺模拟卷1(数学一)
设 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内连续, $f(0)=g(0) \neq 0$, 求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} f\left(\sqrt{x^2-t}\right) \mathrm{d} t}{\int_0^1 x^2 g(x t) \mathrm{d} t}$.
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答案:
解 令 $F(x)=\int_0^{x^2} f\left(\sqrt{x^2-t}\right) \mathrm{d} t \stackrel{x^2-t=u}{\int_0^{x^2}} f(\sqrt{u}) \mathrm{d} u$, $G(x)=\int_0^1 x^2 g(x t) \mathrm{d} t=x \int_0^1 g(x t) \mathrm{d}(x t) \stackrel{x t=u}{=} x \int_0^x g(u) \mathrm{d} u$. 故原式 $=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{F(x)}{G(x)}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^{x^2} f(\sqrt{u}) \mathrm{d} u}{x \int_0^x g(u) \mathrm{d} u} \frac{\text { 洛必达 }}{\text { 法则 }} \lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x f(|x|)}{x g(x)+\int_0^x g(u) \mathrm{d} u}$. 由积分中值定理得, $\int_0^x g(u) \mathrm{d} u=x g(\xi)$, 其中 $\xi$ 介于 0 与 $x$ 之间. 故 原式 $=\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\(\xi \rightarrow 0)}} \frac{2 f(|x|)}{g(x)+g(\xi)}=\frac{2 f(0)}{2 g(0)}=1$.

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