求函数 $f(x, y)=\mathrm{e}^{y-1}+x \ln x-x y-y \mathrm{e}^{1-y}$ 的最小值.
【答案】 【解】解法 $1 f(x, y)$ 的定义域为 $D: 0 < x < +\infty,-\infty < y < +\infty$. 令
$$
\left\{\begin{array}{l}
f^{\prime}(x, y)=\ln x+1-y=0, \\
f_y^{\prime}(x, y)=\mathrm{e}^{y-1}-x+(y-1) \mathrm{e}^{1-y}=0,
\end{array}\right.
$$
求得唯一驻点 $(1,1)$. 又
$$
f^{\prime \prime}{ }_{x x}(x, y)=\frac{1}{x}, f^{\prime \prime}{ }_{x y}(x, y)=-1, f^{\prime \prime}(x y, y)=\mathrm{e}^{y-1}+(2-y) \mathrm{e}^{1-y},
$$
所以
$$
A=f^{\prime \prime}{ }_{x y}(1,1)=1, B=f^{\prime \prime}{ }_{x y}(1,1)=-1, C=f^{\prime \prime}{ }_{y y}(1,1)=1+\mathrm{e}^{-1} \text {, }
$$
得 $A C-B^2=\mathrm{e}^{-1} > 0, A > 0$, 所以 $f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处取得极小值 $f(1,1)=-1$.
由于对任意的 $y_0, f^{\prime \prime}{ }_{x x}\left(x, y_0\right)=\frac{1}{x} > 0$, 故在平面 $y=y_0$ 上,曲线 $z=f\left(x, y_0\right)$ 为凹曲线.
又对任意的 $x_0 > 0, \lim f\left(x_0, y\right)=+\infty, \lim f\left(x_0, y\right)=+\infty$, 且 $f(x, y)$ 在 $D$ 内连续,
故 $f(x, y)$ 在 $D$ 内取得最小值. 又因为 $f(x, y)$ 的驻点唯一, 所以 $f(x, y)$ 的极小值 $f(1$,
$1)=-1$ 即为 $f(x, y)$ 的最小值 $f(1,1)=-1$.


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