求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_1^2 \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^n$.
【答案】 【解】 $\int_1^2 \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x=\frac{n}{n+1}\left(3^{1+\frac{1}{n}}-2^{1+\frac{1}{n}}\right)$, 从而
$$
\begin{aligned}
& \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\int_1^2 \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^n=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{-n}\left(3^{1+\frac{1}{n}}-2^{1+\frac{1}{n}}\right)^n=\mathrm{e}^{-1} \lim _{n \rightarrow \infty}\left(3^{1+\frac{1}{n}}-2^{1+\frac{1}{n}}\right)^n . \\
&
\end{aligned}
$$
$$
\text { 因此 } \lim _{n \rightarrow}\left(\int_1^2 \sqrt[n]{1+x} \mathrm{~d} x\right)^n=\frac{27}{4} \mathrm{e}^{-1} \text {. }
$$


系统推荐